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| Aufgabe | Sei g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch
g(x) = 1 + [mm] \integral_{0}^{x}{\frac{1+sin(t)}{1+t^2} dt}
[/mm]
Bestimmen Sie, falls möglich, ein Polynom p 2. Grades mit
p(0) = g(0), p'(0)=g'(0), p''(0)=g''(0). |
Hi,
also eigentlich muss man ja für p(0) nur das Integral bestimmen können, jedoch habe ich es mal mit ein Programm bestimmt und das war sehr lang, somit vermute ich stark, dass das nicht die Lösung ist. Hat jemand irgendeine Idee? Ich weiß nicht wieso, aber man hat uns in der Übung zu dieser Aufgabe(meine ich) gezeigt, wie man periodische Integrale nachweißt, jedoch sehe ich bei g(x) nicht das es periodisch ist?
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Di 29.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es ist doch [mm] g(0)=1+\integral_{0}^{0}{\frac{1+sin(t)}{1+t^2} dt}. [/mm] Und [mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx} [/mm] ist was?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hi,
ja da war ich auch schon :) dachte vielleicht übersehe ich was, denn [mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx} [/mm] = 0 , ok dann ist g(0) = 1 =p(0).
D.h. um g'(x) zu berechnen muss ich mir h(x) :=x definieren und G(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{\frac{1+sin(t)}{1+t^2} dt }, [/mm] sodass gilt:
f(x) = 1+ G(h(x)) => f'(x) = G'(h(x))h'(x) , ist das soweit richtig gedacht?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 29.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
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> ja da war ich auch schon :) dachte vielleicht übersehe ich
> was, denn [mm]\integral_{a}^{a}{f(x) dx}[/mm] = 0 , ok dann ist
> g(0) = 1 =p(0).
Ja.
> D.h. um g'(x) zu berechnen muss ich mir h(x) :=x
> definieren und G(x) =
> [mm]\integral_{0}^{x}{\frac{1+sin(t)}{1+t^2} dt },[/mm] sodass
> gilt:
> f(x) = 1+ G(h(x)) => f'(x) = G'(h(x))h'(x) , ist das
> soweit richtig gedacht?
Nein. Du musst nur den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden: die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze ist der Integrand:
[mm] g'(x) = \frac{1+\sin x}{1+x^2} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
ja stimmt! Dann habe ich g(0)=1=g'(0). Weiter gilt:
g''(x) = [mm] \frac{cosx(1+x^2) - (1+sinx)2x}{(1+x^2)^2} [/mm] =>g''(0)=1
D.h. ich suche ein Polynom p 2. Grades bei welchem bei x=0 die Steigung der Fkt., der Ableitung und der 2. Ableitung gleich 1 sind. Kommt da nicht g(x) = [mm] e^x [/mm] in Frage? g(0) = [mm] e^0=1,g'(0) [/mm] = [mm] e^0=1 [/mm] ,g''(0) = [mm] e^0=1
[/mm]
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 30.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> D.h. ich suche ein Polynom p 2. Grades bei welchem bei x=0
> die Steigung der Fkt., der Ableitung und der 2. Ableitung
> gleich 1 sind. Kommt da nicht g(x) = [mm]e^x[/mm] in Frage?
Die Exponentialfunktion ist doch kein Polynom. Was ist die allgemeine Form eines Polynoms zweiten Grades?
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
p(x) = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c. Mir ist halt da nur exp eingefallen...wegen p(0)=1 muss c =1 sein, also p(x) = [mm] ax^2 [/mm] + bx + 1
p'(x) = 2ax+b => b=1 ,damit p'(0)=1
p''(x) = 2a => a=0.5 , damit p''(0)=1
=> p(x) = [mm] 0.5x^2+x+1 [/mm] , so passt es dann, nicht wahr?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Do 01.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> p(x) = [mm]ax^2[/mm] + bx + c. Mir ist halt da nur exp
> eingefallen...wegen p(0)=1 muss c =1 sein, also p(x) = [mm]ax^2[/mm]
> + bx + 1
> p'(x) = 2ax+b => b=1 ,damit p'(0)=1
> p''(x) = 2a => a=0.5 , damit p''(0)=1
> => p(x) = [mm]0.5x^2+x+1[/mm] , so passt es dann, nicht wahr?
Ja, es passt
FRED
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> Snafu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Do 01.07.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi, mal wieder einen großen Dank!!
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