Integral ein arcsin-Funktio < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie mit Hilfe partieller Integration den Funktionsterm ohne Integralzeichen an: [mm] \integral_{1}^{t}{arc sin \bruch{2x}{x^{2}+1} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
nun habe ich für f'(x) = 1 -> f(x) = x
und
g(x) = arc sin [mm] \bruch{2x}{x^{2}+1}
[/mm]
und komme damit auf:
[x*arc sin [mm] \bruch{2x}{x^{2}+1}]_{1}^{t} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{t}{\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{2x}{(x^2+1)}^2}}*\bruch{x(2-2x^2)}{(x^2+1)^2}}
[/mm]
Wie komme ich da jetzt weiter? Ich habe es mit nochmaliger partieller Integration und mit Substitution versucht und bin beide Male in einer Sackgasse gelandet.
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> Geben Sie mit Hilfe partieller Integration den
> Funktionsterm ohne Integralzeichen an:
> [mm]\integral_{1}^{t}{arc sin \bruch{2x}{x^{2}+1} dx}[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> nun habe ich für f'(x) = 1 -> f(x) = x
> und
> g(x) = arc sin [mm]\bruch{2x}{x^{2}+1}[/mm]
>
> und komme damit auf:
>
> [x*arc sin [mm]\bruch{2x}{x^{2}+1}]_{1}^{t}[/mm] - [mm]\integral_{1}^{t}{\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{2x}{(x^2+1)}^2}}*\bruch{x(2-2x^2)}{(x^2+1)^2}}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Ableitung von [mm] \bruch{2x}{x^{2}+1} [/mm] stimmt nicht.
Das ist doch (EDIT): [mm] \bruch{2x*2x - 2(x^2+1)}{(x^{2}+1)^2}
[/mm]
Vereinfache nun hinter dem Integralzeichen. (Termumformungen)
Gruß v. Angela
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> Deine Ableitung von [mm]\bruch{2x}{x^{2}+1}[/mm] stimmt nicht.
>
> Das ist doch [mm]\bruch{2x*2x - 2x(x^2+1)}{(x^{2}+1)^2}[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Guten Tag Angela,
so stimmt's aber auch nicht ...
Ich erinnere mich da an so eine Formel: [mm] \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\,v-u\,v'}{v^2}
[/mm]
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Sa 17.10.2009 | | Autor: | adnauseam |
> > Deine Ableitung von [mm]\bruch{2x}{x^{2}+1}[/mm] stimmt nicht.
> >
> > Das ist doch [mm]\bruch{2x*2x - 2x(x^2+1)}{(x^{2}+1)^2}[/mm]
>
>
>
> Guten Tag Angela,
>
> so stimmt's aber auch nicht ...
>
> Ich erinnere mich da an so eine Formel:
> [mm]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\,v-u\,v'}{v^2}[/mm]
>
>
> Gruß Al
Hallo,
Danke erstmal für die schnellen Antworten.
Ich habe nach der Quotientenregel gerechnet:
[mm] (\bruch{2x}{x^2+1})' [/mm] = [mm] \bruch{2*(x^2+1))-2x*(2x)}{(x^2+1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{2-2x^2}{(x^2+1)^2}.
[/mm]
Das x was oben bei mir steht kommt von f(x), das hätte ich natürlich auch extra schreiben können, verwirrt an der Stelle vielleicht.
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> Geben Sie mit Hilfe partieller Integration den
> Funktionsterm ohne Integralzeichen an:
> [mm]\integral_{1}^{t}{arc sin \bruch{2x}{x^{2}+1} dx}[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> nun habe ich für f'(x) = 1 -> f(x) = x
> und
> g(x) = arc sin [mm]\bruch{2x}{x^{2}+1}[/mm]
>
> und komme damit auf:
>
> [x*arc sin [mm]\bruch{2x}{x^{2}+1}]_{1}^{t}[/mm] -
> [mm]\integral_{1}^{t}{\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{2x}{(x^2+1)}^2}}*\bruch{x(2-2x^2)}{(x^2+1)^2}}[/mm]
>
> Wie komme ich da jetzt weiter? Ich habe es mit nochmaliger
> partieller Integration und mit Substitution versucht und
> bin beide Male in einer Sackgasse gelandet.
Hallo Ricardo,
zuerstmal zur Sache mit der Quotientenregel:
das war in Ordnung.
Um nun weiter zu kommen, muss man zunächst
vereinfachen. Beispielsweise kann man
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{2x}{x^2+1}\right)^2}}
[/mm]
zu
[mm] \frac{x^2+1}{|x^2-1|}
[/mm]
destillieren. Dieser Term ist an der Stelle x=1 nicht
definiert, was später beim Einsetzen der Integrations-
grenze x=1 zu Schwierigkeiten führen könnte.
LG Al-Chw.
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Wunderschön, damit kann man den ganzen Term bis auf
[mm] \bruch{-2x}{x^2+1}
[/mm]
vereinfachen und dann einfach durch Substitution lösen:
[mm] [ln(x^2+1)]_{1}^{t}
[/mm]
Und warum funktioniert dies nur für x [mm] \ge [/mm] 1? die Funktion hat doch nur bei x=0 ein Nullstelle oder nicht? Oder schränkt da noch was anderes ein?
Mit freundlichen Grüßen
Ricardo
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> Wunderschön, damit kann man den ganzen Term bis auf
> [mm]\bruch{-2x}{x^2+1}[/mm]
> vereinfachen und dann einfach durch Substitution lösen:
>
> [mm][ln(x^2+1)]_{1}^{t}[/mm]
>
> Und warum funktioniert dies nur für x [mm]\ge[/mm] 1? die Funktion
> hat doch nur bei x=0 ein Nullstelle oder nicht? Oder
> schränkt da noch was anderes ein?
>
> Mit freundlichen Grüßen
> Ricardo
Hallo,
hast du die Absolutstriche im Term $ [mm] \frac{x^2+1}{|x^2-1|} [/mm] $
beachtet ?
Die kommen daher, dass [mm] \sqrt{x^4-2x^2+1}=|x^2-1| [/mm] ist.
für x-Werte zwischen -1 und 1 wäre [mm] \sqrt{x^4-2x^2+1}=1-x^2
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Sa 17.10.2009 | | Autor: | adnauseam |
Achso, deswegen ist auch das Integral in den Grenzen 1 bis t angegeben.
Die Vereinfachung gilt nur für [mm] x\le [/mm] -1 und [mm] x\ge [/mm] 1.
Und zwischen -1 und 1 müsste man anders vereinfachen und integrieren. Das wäre sicherlich noch ein wenig schwieriger.
Vielen Dank für die Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen
Ricardo
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> Achso, deswegen ist auch das Integral in den Grenzen 1 bis
> t angegeben.
>
> Die Vereinfachung gilt nur für [mm]x\le[/mm] -1 und [mm]x\ge[/mm] 1.
> Und zwischen -1 und 1 müsste man anders vereinfachen und
> integrieren. Das wäre sicherlich noch ein wenig
> schwieriger.
Ja, aber wohl wirklich nur ein wenig schwieriger:
ein Vorzeichenwechsel sollte genügen.
LG Al-Chw.
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