Integral einer Menge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Bestimme den folgenden Flächeninhalt
a)[mm]\{(x,y)\in R^2 | 0\leq ax +by\leq 1 \quad und\quad 0\leq cx+dy\leq 1\}[/mm]
b)[mm]\{(x,y)\in R^2| a\leq ye^{-x}\leq b \quad und \quad c\leq ye^x\leq d\} wobei\quad 0
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Grüße
Ich hätte gern ein paar Hinweise und Tipps wie man Grundsätzlich an eine solche Aufgabe herangeht.
Bei diesem Beispiel kann man sich überlegen, dass die Menge immer ein Parallelogramm ist und kann dann theroetisch sogar komplett ohne Integrale den Flächeninhalt bestimmen.
Ich wüsste allerdings gerne wie ich eine solche Menge sinnvoll und mit möglichst wenig Aufwand integriere.
Danke für die Hilfe
Phorkyas
/edit:
Ok das erste Beispiel habe ich jetzt hinbekommen. Transformationsformel war die entscheidende Idee.
Alerdings hilft mir für das Zweite Beispiel die Transformationsformel nicht weiter denn:
[mm]\Phi:(x,y)\mapsto(ye^{-x}, ye^x) \Rightarrow d\Phi=\pmat{ -ye^{-x} & e^{-x} \\ ye^x & e^x }\\
\Rightarrow |det(d\Phi^{-1})|=|\frac{1}{-2y}|\\
\Rightarrow vol(M)=\int_{[a,b]\times[c,d]}{\frac{1}{-2y} dx dy}=\frac{1}{-2}(b-a)ln(\frac{d}{c})[/mm]
und das entspricht nicht der Lösung.
Muss also irgendwas falsch sein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Sa 13.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimme den folgenden Flächeninhalt
> a)[mm]\{(x,y)\in R^2 | 0\leq ax +by\leq 1 \quad und\quad 0\leq cx+dy\leq 1\}[/mm]
>
> b)[mm]\{(x,y)\in R^2| a\leq ye^{-x}\leq b \quad und \quad c\leq ye^x\leq d\} wobei\quad 0
>
> Grüße
>
> Ich hätte gern ein paar Hinweise und Tipps wie man
> Grundsätzlich an eine solche Aufgabe herangeht.
> Bei diesem Beispiel kann man sich überlegen, dass die
> Menge immer ein Parallelogramm ist und kann dann
> theroetisch sogar komplett ohne Integrale den Flächeninhalt
> bestimmen.
> Ich wüsste allerdings gerne wie ich eine solche Menge
> sinnvoll und mit möglichst wenig Aufwand integriere.
>
> Danke für die Hilfe
> Phorkyas
>
> /edit:
> Ok das erste Beispiel habe ich jetzt hinbekommen.
> Transformationsformel war die entscheidende Idee.
> Alerdings hilft mir für das Zweite Beispiel die
> Transformationsformel nicht weiter denn:
> [mm]\Phi:(x,y)\mapsto(ye^{-x}, ye^x) \Rightarrow d\Phi=\pmat{ -ye^{-x} & e^{-x} \\ ye^x & e^x }\\
\Rightarrow |det(d\Phi^{-1})|=|\frac{1}{-2y}|\\
\Rightarrow vol(M)=\int_{[a,b]\times[c,d]}{\frac{1}{-2y} dx dy}=\frac{1}{-2}(b-a)ln(\frac{d}{c})[/mm]
>
> und das entspricht nicht der Lösung.
> Muss also irgendwas falsch sein
Du hast deine Transformation nicht richtig durchgeführt, weil du alte und neue Koordinaten vermischt hast. Wenn du es etwas sauberer hinschreibst:
[mm]\Phi:(x,y)\mapsto(ye^{-x}, ye^x)=(u,v) \Rightarrow d\Phi=\pmat{ -ye^{-x} & e^{-x} \\ ye^x & e^x }\\
\Rightarrow |det(d\Phi^{-1})|=|\frac{1}{-2y}|\\
\Rightarrow vol(M)=\int_{[a,b]\times[c,d]}{\frac{1}{\red{+}2y} d\red{u} d\red{v}} [/mm]
(Du hast außerdem vergessen, den Betrag zu nehmen, denn y ist immer positiv.)
siehst du, dass du noch y durch u und v ausdrücken musst: [mm] $y=\sqrt{u}\sqrt{v}$:
[/mm]
[mm]vol(M)=\int\limits_{[a,b]\times[c,d]} {\frac{1}{2\sqrt{u}\sqrt{v}} du dv} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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