Integral eines Bruchs < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}(x+1)/(x^3+x^2+x) [/mm] |
Dieses Integral kam bei uns auf der Uni mal zu nem Test, wollt es jetzt übungsweise Durchrechnen steh aber immer wieder an, habs versucht indem ich den bruch als ^-1 rauf schreib und mit nenner substituieren, hat aber alles irgendwie nicht geklappt, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg
Einheit21
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Partialbruchzerlegung
FRED
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hab ich auch schon versucht, aber entweder hab ich die Formel zur Partialbruchzerlegung doch nicht verstanden oder ich hab irgend was anderes Falsch gemacht, es hat jedenfalls nicht funktioniert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Do 04.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Einheit21!
Um Dir vernünftig helfen zu können, musst Du uns schon verraten, was Du bisher gemacht und gerechnet hast.
Es gilt:
$$\bruch{x+1}{x^3+x^2+x} \ = \ \bruch{x+1}{x*\left(x^2+x+1\right)} \ = \ \bruch{A}{x}+\bruch{B*x+C}{x^2+x+1$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Do 04.06.2009 | | Autor: | Einheit21 |
das Problem ist das meine bisherigen ansätze im Müll liegen weil nie was bei rausgekommen ist, aber ich erinner mich die partialbruchzerlegung anders gemacht zu haben, werds nochmal versuchen...
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ok... dann hab ich mal folgendes:
ich hab jetz also A/x + (Bx+C)/(x²+x+1)
jetz muss ich ja A B und C finden, meines wissens mit Koeffizientenvergleich, sprich ich setz das mit der ursprünglichen Gleichung Gleich:
A/x + (Bx+C)/(x²+x+1) = (x+1)/(x³+x²+x)|*(x³+x²+x)
Ax² +Ax +A +Bx² +Cx =(x+1)
Beim Koeffizientenvergleich kommt mir A=1, B=0, C=-1 raus
folglich heißt meine neue Gleichung: 1/x - 1/(x²+x+1)
das muss ich jetzt integrieren 1/x ist integriert meines wissens lnx und da ich den weiten Teil ja als x^-2 + x^-1 +1^-1 schreiben könnte, bekomm ich als Gesamtergebniss: lnx - (-1/x +lnx +x)+C oder 1/x -x + C was aber definitiv nicht stimmen kann, da mir 1. der TR was anderes ausspuckt und ich auch so seh das das differenziert nicht meine Stammfunktion ergiebt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Do 04.06.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Loddar, B=-1, Steffi
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wenn
Ax² +Ax +A +Bx² +Cx =(x+1)(+0x²)
stimmt, kann A=B=1 C=0 nicht stimmen, hier mal der Koeffizientenvergleich langsam:
A+B=0 (vergleich der koeffizienten von x²)
A+C=1 (vergleich der Koeffizeinten von [mm] x^1)
[/mm]
A = 1 (vergleich der Koeffizienten von [mm] x^0)
[/mm]
ok, leicht ersichtlich, A=1 aber B=-1 da 1+B=0 sein muss, C wiederum ist 0, richtig, da hatte ich mich geirrt...
würde die weitere Vorgehensweise meinerseits passen wenn ich die richtigen koeffizienten verwende oder muss man das dann anders integrieren??
ok, hat steffi schon korrigiert...
dann hab ich also 1/x + (-1*x) / (x²+x+1)
1/x is integriert immernoch lnx, aber jetz hab ich trotz Partialsummenzerlegung beim letzten Term immernoch x im Zähler und im Nenner...
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Hallo Einheit21,
> wenn
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> Ax² +Ax +A +Bx² +Cx =(x+1)(+0x²)
>
> stimmt, kann A=B=1 C=0 nicht stimmen, hier mal der
> Koeffizientenvergleich langsam:
>
> A+B=0 (vergleich der koeffizienten von x²)
> A+C=1 (vergleich der Koeffizeinten von [mm]x^1)[/mm]
> A = 1 (vergleich der Koeffizienten von [mm]x^0)[/mm]
>
> ok, leicht ersichtlich, A=1 aber B=-1 da 1+B=0 sein muss, C
> wiederum ist 0, richtig, da hatte ich mich geirrt...
> würde die weitere Vorgehensweise meinerseits passen wenn
> ich die richtigen koeffizienten verwende oder muss man das
> dann anders integrieren??
>
> ok, hat steffi schon korrigiert...
> dann hab ich also 1/x + (-1*x) / (x²+x+1)
> 1/x is integriert immernoch lnx, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber jetz hab ich trotz
> Partialsummenzerlegung beim letzten Term immernoch x im
> Zähler und im Nenner...
Ja, das letzte Integral ist etwas anspruchsvoller:
Es ist [mm] $-\int{\frac{x}{x^2+x+1} \ dx}=-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x}{x^2+x+1} \ dx}=-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x\red{+1-1}}{x^2+x+1} \ dx}=-\frac{1}{2}\cdot{}\left(\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \ dx}-\int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx}\right)$
[/mm]
Das erstere ist nun ein logarithmisches Integral, kennst du dafür eine Stammfunktion? Falls nicht, substituiere den Nenner [mm] $u:=x^2+x+1$ [/mm] ..
Das letztere (ohne die Vorfaktoren) ist [mm] $\int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx}=\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} \ dx}=\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \ dx}$
[/mm]
Kommst du hier auf eine passende Substitution?
Du kennst bestimmt [mm] $\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}=....$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Do 04.06.2009 | | Autor: | Einheit21 |
ok, ich danke euch für eure Bemühungen mir die Welt des Integrierens näher zu bringen ;)
Es is mir schon um einiges Klarer wie das ganze Funktioniert und mit ein bisschen nachschlagewerk denke ich komm ich auch zur Lösung. Danke ;)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Ich erhalte: $A \ = \ B \ = \ 1$ sowie $C \ = \ 0$ .
