Integral glm. stetige Funktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 So 02.05.2010 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | Beweis der Behauptung
[mm]f: [a;b] \to \IR, f \in stetig \Rightarrow f \in integrierbar.ueber [a;b][/mm] |
Hallo,
mir ist der Beweis soweit klar - bis auf diese erste Zeile:
[mm]f\in glm. stetig \Rightarrow \exists \delta >0: \forall x',x'' \in [a;b]: [x'-x'']<\delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')| < \bruch{\epsilon}{b-a+1}[/mm]
Woher weiß ich, dass [mm]|f(x')-f(x'')| < \bruch{\epsilon}{b-a+1}[/mm] gilt?
Ich komme einfach nicht darauf, wie ich darauf schließen kann....
Liebe Grüße,
r2d2
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Hallo!
> Beweis der Behauptung
> [mm]f: [a;b] \to \IR, f \in stetig \Rightarrow f \in integrierbar.ueber [a;b][/mm]
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> Hallo,
> mir ist der Beweis soweit klar - bis auf diese erste
> Zeile:
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> [mm]f\in glm. stetig \Rightarrow \exists \delta >0: \forall x',x'' \in [a;b]: [x'-x'']<\delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')| < \bruch{\epsilon}{b-a+1}[/mm]
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> Woher weiß ich, dass [mm]|f(x')-f(x'')| < \bruch{\epsilon}{b-a+1}[/mm]
> gilt?
Das ist doch einfach die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit, wenn du statt [mm] \varepsilon [/mm] den Term [mm] \bruch{\epsilon}{b-a+1} [/mm] einsetzt.
Ich erklär's dir mal an einem anderen Beispiel:
Wenn wollen nachweisen: Wenn [mm] $(a_{n})_{n\in\IN}$, $(b_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergente Folgen mit Limiten a und b sind, dann folgt: Auch [mm] $(a_{n}+b_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] ist konvergent mit Limes (a+b).
Uns ist gegeben:
[mm] \forall \varepsilon_{1} [/mm] > 0 [mm] \exists N_{1}\in\IN \forall [/mm] n > [mm] N_{1}: |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon_{1}
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon_{2} [/mm] > 0 [mm] \exists N_{2}\in\IN \forall [/mm] n > [mm] N_{2}: |b_{n}-b| [/mm] < [mm] \varepsilon_{2}
[/mm]
Die Aussagen beziehen sich nicht auf ein bestimmtes [mm] \varepsilon_{1} [/mm] oder [mm] \varepsilon_{2}; [/mm] sie sagen eben einfach: Wenn man für [mm] \varepsilon_{1} [/mm] bzw. [mm] \varepsilon_{2} [/mm] eine positive Zahl einsetzt, dann erhält man ein [mm] N_{1} [/mm] bzw. [mm] N_{2} [/mm] aus den natürlichen Zahlen, usw...
Der Konvergenzbeweis sieht dann so aus:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. (Dieses [mm] \varepsilon [/mm] hat von Haus aus erstmal nichts mit [mm] \varepsilon_{1} [/mm] und [mm] \varepsilon_{2} [/mm] oben zu tun; und genau so ist es bei deinem Beweis oben - die Verwirrung entsteht immer nur dadurch, dass man annimm, überall stände nur " [mm] \varepsilon [/mm] " und die hätten alle was miteinander zu tun!). Da aber [mm] \varepsilon [/mm] > 0, ist auch [mm] \frac{\varepsilon}{2}>0, [/mm] und wir dürfen oben in den Definitionen setzen:
[mm] $\varepsilon_{1} [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
und
[mm] $\varepsilon_{2} [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{2}$.
[/mm]
Wir erhalten dann entsprechend der Definitionen ein [mm] N_{1}\in\IN, N_{2}\in\IN [/mm] so, dass gilt:
[mm] $|a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon_{1} [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] für n > [mm] N_{1}
[/mm]
[mm] $|b_{n}-b| [/mm] < [mm] \varepsilon_{2} [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] für n > [mm] N_{2}.
[/mm]
Hast du das Prinzip verstanden?
(Wie der Beweis für die Konvergenz weitergeht, weißt du wahrscheinlich  )
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 So 02.05.2010 | | Autor: | r2d2 |
Danke für die ausführliche Erklärung - jetzt habe ich das Prinzip verstanden.
Liebe Grüße
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