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Integral in 5 Schritten: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Sa 18.06.2011
Autor: Mathegirl

Aufgabe
Ich habe folgendes Musterbeispiel:

Beispiel: Arbeit
K=f(s)  in [a,b]

1.Schritt:
Teile [a,b] in viele kleine teilintervalle(diese müssen nicht gleich groß sein)

2.Schritt:
Approximiere f in ejdem Teilintervall durch geeignete Konstante

3.Schritt:
Berechne in jedem Teilintervall die dort verrichtete Arbeit über "Kraft mal Weglänge"

4. Schritt:
Summiere über diese Arbeitsstückchen

5.Schritt:
mache die Teilintervalle beliebig klein

Resultat: gesuchte Arbeit!!

Nun meine Aufgabe, die ich anch den 5 Schritten umsetzen soll:
"Erläutere, wie man mit den schülern erarbeiten kann, dass die Fläche unter der Jungen- bzw Mädchenkurve bis zu einem bestimmten zeitpunkt t dem Zuwachs der Körpergröße von der Geburt bis zum Zeitpunkt t entspricht."

(Aufgabe Aus dem Skript auf Skriptseite 61
duepublico.uni-duisburg-essen.de/servlets/DerivateServlet/Derivate.../diss.pdf

So...ich verstehe das einafch nicht...und ich weiß nicht wie ich ich das mit den 5 Schritten wie im Musterbeispiel erarbeiten soll. Benötige ich dazu die Formeln???

ich wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte!

Gruß
Mathegirl

        
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Integral in 5 Schritten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:30 Sa 18.06.2011
Autor: chrisno

Der Link ist keiner, also kann ich mir die Orginalaufgabe nicht ansehen. Was mit "Jungenkurve" gemeint sein soll, kann ich nur ahnen. Ich vermute, es handelt sich um eine Funktion, die die Zunahme der Körpergröße pro Monat angibt.
Naja, wenn man nun bei der Geburtsgröße anfängt und dann Monat für Monat den Zuwachs addiert, kommt die Gesamtgröße heraus. Wenn das so nicht stimmt, stell bitte mehr Informationen bereit.

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Integral in 5 Schritten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 So 19.06.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Das ist doch nur eine Textaufgabe zu der "Standardherleitung" der Integrale.

Ist dir die Bedeutung des Integrales bei folgenden Diagrammen klar, und weißt du, wie man mit folgenden Aufgaben anfangen würde?

i) v-t-Diagramme (zurückgelegte Strecke ermitteln)
ii) a-t-Diagramme (Geschwindigkeit ermitteln)
iii) Das Beispiel, anhand dessen du die Aufgabe lösen sollst, also die Arbeit bei einem Kraft-Weg-Diagramm?
iv) Die Höhe eines "Wachstumsdiagrammes" bei einer Pflanze, also bei einem "Höhenzuwachs"-Zeit-Diagramm?
v) Die Füllmenge eines Pools, wenn die "Füllmengenfunktion" Zeit-"momentaner Wasserdurchlauf des Rohres" gegeben ist.

Wenn dir diese Beispiele klar sind, sollte die Aufgabe auch kein Problem darstellen.

Marius


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Integral in 5 Schritten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 So 19.06.2011
Autor: Mathegirl

Ich habe allgemein recht große Probleme mit diesen Einführungsaufgaben.

Hier ist meine Aufgabe, auf die ich die genannte Aufgabenstellung anwenden soll.
mathematix.de/assets/files/uni/vortrag%20uni.ppt   Folie 75

Die Aufgabe ist auch so angelegt, dass die Schüler bereits den hauptsatz der Integralrechnung entdecken können. Da soll ich schildern, wie ein solcher Entdeckungsprozess idealerweise vor sich gehen kann.

Wobei das ja eigentlich klar ist! Wenn die 5 Schritte zum Integral angewandt wurden, dann sieht man ja, dass die Ableitung der stammfunktion die Originalfunktion ist.

ich tu mich echt schwer mir solchen Aufgaben!


Vielleicht könnt ihr mir helfen, damit mir das ganze etwas schlüssiger wird!

Gruß
mathegirl

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Integral in 5 Schritten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 So 19.06.2011
Autor: M.Rex

Hallo


> Ich habe allgemein recht große Probleme mit diesen
> Einführungsaufgaben.

Das ist nicht gut. Das ist eigentlich Schulstoff der Oberstufe.

>
> Hier ist meine Aufgabe, auf die ich die genannte
> Aufgabenstellung anwenden soll.
>  mathematix.de/assets/files/uni/vortrag%20uni.ppt   Folie
> 75
>  
> Die Aufgabe ist auch so angelegt, dass die Schüler bereits
> den hauptsatz der Integralrechnung entdecken können. Da
> soll ich schildern, wie ein solcher Entdeckungsprozess
> idealerweise vor sich gehen kann.

Schon klar.

>  
> Wobei das ja eigentlich klar ist! Wenn die 5 Schritte zum
> Integral angewandt wurden, dann sieht man ja, dass die
> Ableitung der stammfunktion die Originalfunktion ist.

Aus deinen 5 Schritten im ersten Post sieht man das nicht.

Das ist die Herleitung des Integralbegriffes in einer Anwendungsaufgabe verpackt, dort ist nichts über den Zusammenhang "Stammfunktion:Ausgangsfunktion"="Ausgangsfunktion:Ableitung" aufgefüht.
Die Differentialrechnung taucht dort nämlich nicht auf.
Im fünften Schritt sagst du, du würdest die "Breite dieser Rechtecke beliebig klein machen", das ist aber so falsch.
Du erhöhst im zu betrachtenden Intervall die Anzahl a der Rechtecke, von denen jedes einzelne dann zwar immer schmaler wird, aber die Grenzwertbetrachtung ist [mm] a\to\infty. [/mm]
Und das ist nunmal keine Differentialrechnung.
Dazu aich []dieser Link.

Würde ich die Rechtecke bei gleicher Anzahl beliebig klein machen, würde ich nichtmehr das ganze Intervall abdecken, die Rechtecke würden sich an der unteren Intervallgrenze zusammenschieben, und ein Großteil des Intervalles würde nicht mehr mit Rechtecken abgedeckt.


>  
> ich tu mich echt schwer mir solchen Aufgaben!
>  
>
> Vielleicht könnt ihr mir helfen, damit mir das ganze etwas
> schlüssiger wird!
>  
> Gruß
>  mathegirl

Marius


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Integral in 5 Schritten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 So 19.06.2011
Autor: Mathegirl

Kann mir das vielleicht jemand erklären, wie ich das bei dieser Aufgabe machen soll? Wie ich mit den schülern erarbeiten soll, dass die Fläche unter den Graphen bis zu einem bestimmten Zeitpunkt t den zuwachs der Körpergröße von der Geburt bis zum zeitpunkt t entspricht?

MfG
mathegirl

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Integral in 5 Schritten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 So 19.06.2011
Autor: M.Rex


> Kann mir das vielleicht jemand erklären, wie ich das bei
> dieser Aufgabe machen soll? Wie ich mit den schülern
> erarbeiten soll, dass die Fläche unter den Graphen bis zu
> einem bestimmten Zeitpunkt t den zuwachs der Körpergröße
> von der Geburt bis zum zeitpunkt t entspricht?
>  
> MfG
>  mathegirl

Wenn ich die Rechtecke unter die Fläche lege, kann ich die Wachstumsschübe in dem "Zeitintervall" eines Jeden Rechtecks bekommen.
Mache ich die Einteilung sehr fein, bekomme ich immer genauere und immer mehr Wachstumssschübe.
Wenn du jetzt unendlich viele Rechtecke hast, bekommst du die Wachstumsschübe zu jedem Zeitpunkt.

Und alle Wachstumsschübe aufaddiert ergeben...

Marius


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Integral in 5 Schritten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 So 19.06.2011
Autor: Mathegirl

ja, das weiß ich ja....man müsste das genau für die Jungenkurve und die Mädchenkurve zeigen..nur da stellt sich wieder für mich die Frage, ob man das genau für diese Aufgabenstellung allgemein so beschreiben kann, oder ob man das vorrechnen muss. und wenn ja, wie groß man die abschnitte wählen sollte. Da dachte ich eventuell pro Jahr.
Wenn ich die Abschnitte wähle habe ich ja pro Jahr x und das wachstum f(x) Den wert für f(x) lese ich ja an der Kurve ab oder??

okay...dann ist das ja mit den 5 Schritten klar!
1. ich teile in Intervalle ein, z.B. pro Jahr
2. Approximiere in jedem Teilintervall durch geeignete Konstante - was heißt das?
3. Jedes Teilintervall berechnenokay..ich berechne hier also f(x)*x
4. Aufsummieren der Teilintervalle...klar, alle Teilintervalle zusammenrechnen
5. Grenzwertbildung.....warum Grenzwert??? Grenzwert wovon? Das verstehe ich nicht!

Die gegeben Funktionen muss ich hier nicht beachten oder???


Und wie soll ich zu dieser Aufgabe einen Entdeckungsprozess des Hauptsatzes schildern? Das muss ja alles recht ausführlich sein..

danke für die Hinweise...

Gruß
Mathegirl

Bezug
                                                        
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Integral in 5 Schritten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 So 19.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> ja, das weiß ich ja....man müsste das genau für die
> Jungenkurve und die Mädchenkurve zeigen..nur da stellt
> sich wieder für mich die Frage, ob man das genau für
> diese Aufgabenstellung allgemein so beschreiben kann, oder
> ob man das vorrechnen muss. und wenn ja, wie groß man die
> abschnitte wählen sollte. Da dachte ich eventuell pro
> Jahr.
>  Wenn ich die Abschnitte wähle habe ich ja pro Jahr x und
> das wachstum f(x) Den wert für f(x) lese ich ja an der
> Kurve ab oder??
>
> okay...dann ist das ja mit den 5 Schritten klar!
> 1. ich teile in Intervalle ein, z.B. pro Jahr
>  2. Approximiere in jedem Teilintervall durch geeignete
> Konstante - was heißt das?
>  3. Jedes Teilintervall berechnenokay..ich berechne hier
> also f(x)*x
>  4. Aufsummieren der Teilintervalle...klar, alle
> Teilintervalle zusammenrechnen
>  5. Grenzwertbildung.....warum Grenzwert??? Grenzwert
> wovon? Das verstehe ich nicht!
>  
> Die gegeben Funktionen muss ich hier nicht beachten
> oder???
>  
>
> Und wie soll ich zu dieser Aufgabe einen Entdeckungsprozess
> des Hauptsatzes schildern? Das muss ja alles recht
> ausführlich sein..
>  
> danke für die Hinweise...
>  
> Gruß
>  Mathegirl


Hallo Mathegirl,

erstmal eine ganz wichtige Bemerkung, die auch schon gemacht
wurde: obwohl die Folien zum Vortrag (ab Folie 68) unter dem Titel
"Einführung der integralrechnung" stehen, ist da von eigentlicher
Integralrechnung noch gar nix vorhanden. Es geht nur um den
Zusammenhang zwischen einer Grafik, in der die Änderungs-
rate einer Größe (im Beispiel die Körpergröße von Kindern) dar-
gestellt ist, und dem Verlauf der Größe selbst.
In der Grafik kann man zum Beispiel zuerst einmal folgende
Beobachtungen machen (und mit der Erfahrung vergleichen !) :
Kleinkinder wachsen zuerst sehr schnell, dann allmählich weniger
schnell. Das Wachstum stabilisiert sich ab dem Alter von 5 Jahren
bei etwa 5cm pro Jahr. Bei Jungen bleibt das Wachstum bis zum
Alter von 9 Jahren praktisch konstant auf diesem Level, dann
folgt aber im Alter von 10-12 Jahren ein deutlicher Wachstums-
schub, der dann abklingt, bis das Größen-(Längen-)wachstum
mit etwa 18 Jahren zum Stillstand kommt. Bei Mädchen gibt es
auch einen Wachstumsschub, der früher (schon etwa ab 6 Jahren)
anfängt und einen weniger hohen "Peak" als bei Jungen hat.

Für eine Ermittlung der Größenwachstumskurven für Jungen
und Mädchen müsste man geeignete Intervalleinteilungen
(z.B. mittels eines Millimeterpapierrasters) vornehmen. Zudem
sollte man noch die mittlere Geburtsgröße für Mädchen und
für Jungen kennen.
Man kann dann wenigstens plausibel machen, dass der unter
der Wachstumsraten-Kurve befindliche Flächeninhalt für das
gesamte Größenwachstum innert einer Zeitperiode steht.
Hier schon mit Formeln umzugehen, scheint mir aber nicht
unbedingt sinnvoll und auch nicht unbedingt im Sinne des
Autors des Vortrages ...

LG    Al-Chw.


Bezug
                                                                
Bezug
Integral in 5 Schritten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 So 19.06.2011
Autor: Mathegirl

also die Power Point habe ich nur genutzt um die Grafik zu veranschaulichen, das ist der einzige Grund!
Kann ich aber die gewählten Intervalle nutzen, die bei den Funktionen angegeben sind?
Ich steige einfach nicht durch...ich dachte man muss das Intervall möglichst klein wählen...

ja, ich weiß, dass es noch nicht direkt um das Intervall geht!

Sind die 5 Schritte wie im vorherigen Post in Ordnung? Und wie ist 2. und 5. zu deuten??


Und wie können die Schüler anhand dieser Aufgabe den hauptsatz der Integralrechnung entdecken???????????

Mathegirl

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Bezug
Integral in 5 Schritten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 So 19.06.2011
Autor: leduart

Hallo
zuerst möchte ich mich bekleagen: um eine graphik zu sehen, die man leicht beschreiben kann musste ich etliche megabyte runterladen und dann ein ungeliebtes programm aufmachen, das find ich ne ziemliche Zumutung. du hättest die graphil kopieren oder ne ähnliche selbst herstellen können!
Nun zu deiner Didaktik.
a) du sagst die S. kennen den hauptsatz schon? was sollen sie dann entdecken?
b) wenn sie ihn nicht kennen: Stell Ihnen zuerst eine Kurve mit der Größenentwicklung mit dem Alter vor, lass sie daraus das Wachstum pr jahr rausfinden.
Dann die gegebene Kurve, lass sie daraus die Gtöße in Abh. vom Alter rausfinden. GW ist nicht nötig. Verbinde die gefundenen punkte zu ner glatten Kurve, komm af die ausgangsfrage zurück. Wenn man nur diese kurve hat, wie kann man auf die Ausgangskurve schließen.
Da die S. ja wohl selbständig arbeiten sollen lass sie das alles in gruppenarbeit machen. Dann kommen wahrscheinlich von allein verschiedene Intervallgrößen vor und sowohl untersummen als Obersummen als Summen mit dem mittleren Wert.
Dann kann man drüber reden ,was die "genauesten" ( nicht die besten) Kurven sind, und die wieder zur Orsprungskurve verarbeiten.
Gruss leduart


Bezug
                                                                                
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Integral in 5 Schritten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:34 Mo 20.06.2011
Autor: Mathegirl

Okay, vieln Dank, das hilft mir gut weiter!

Allerdings sind meine 2 fragen die ich schon 3 mal gestllt habe immer noch nicht drauf eingegangen!

1. Wie gehe ich mit Punkt 2 und Punkt 5 um wie ich oben gefragt habe? Und warum grenzwert?

2. Welche Intervalle soll ich wählen für die Erste Aufgabe zu dieser Grafik?? pro Jahr oder die vorgegebenen von den Funktionen?

Wofür sind denn die Funktionen gegeben, wenn ich sie bei dieser Aufgabe noch nicht nutzen soll?


Gruß
Matrhegirl

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Bezug
Integral in 5 Schritten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Mo 20.06.2011
Autor: M.Rex

Hallo


> Okay, vieln Dank, das hilft mir gut weiter!
>  
> Allerdings sind meine 2 fragen die ich schon 3 mal gestllt
> habe immer noch nicht drauf eingegangen!
>  
> 1. Wie gehe ich mit Punkt 2 und Punkt 5 um wie ich oben
> gefragt habe? Und warum grenzwert?

Zu Punkt 2:
Welche Konstante du nehmen sollst, kann ich dir auch nicht so ohne weiteres sagen, evtl kannst du die Funktionswerte als Konstante nehmen.

zu Punkt 5.
Den Grenzwert für die Anzahl der Rechtecke, diese soll, für den genauen Flächeinhalt dann gegen unendlich gehen, wie ich hier irgendwo auch schon schrieb.

>  
> 2. Welche Intervalle soll ich wählen für die Erste
> Aufgabe zu dieser Grafik?? pro Jahr oder die vorgegebenen
> von den Funktionen?

Es macht Sinn, die Vorgegebenen Intervalle zu nehmen, dann ist das - falls nötig - Bilden der Stammfunktion etwas besser. Und du ersparst dir die Überprüfung, ob f(x) an der Schnittstelle stetig ist, denn nur dann klappt eine Integralberechnung.

>  
> Wofür sind denn die Funktionen gegeben, wenn ich sie bei
> dieser Aufgabe noch nicht nutzen soll?

Keine Ahnung, ehrlich gesagt.

>
>
> Gruß
>  Matrhegirl

Marius


Bezug
                                                                                        
Bezug
Integral in 5 Schritten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Mo 20.06.2011
Autor: leduart

Hallo
1. die funktionen sind für den Lehrer, nicht für die schüler gegeben, wenn überhaupt, würde ich sie den schülern erst am Ende geben. du kannst damit die Graphik selbst etwa auf MMpapier plotten.
Falls die Schüler schon integrieren können kannst du am ende die funktionen hinschreiben und exakt rechnen lassen.
zu 2. am besten lass die S selbst entscheiden welchen funktionswert sie nehmen es gibt da ja viele möglichkeiten [mm] f(x_1)*(x_2-x_1) f(_x2)*(x_2-x_1) [/mm]
[mm] (f(x_1)+f(x_2)/2*(x_2-x_1) f((x_1+x_2)/2)*(x_2-x_1) [/mm] oder [mm] f(\xi)*(x_2-x_1) [/mm]
wobei man /xi so wählt -nach Augenmaß- dass die Fläche oberhalb und unterhalb etwa gleich groß sind.
nach der Gruppenarbeit kann man dann über die Vor und Nachteile reden, wenn man das etwa mit nem Exelprogramm automatisch machen will ist der letzte Weg nicht möglich.
bei dir als angehender Lehrerin stört mich etwas, dass du dich nicht erstmal hinsetzt und überlegst, wie du das Thema selbst angehen würdest, verschiedene alternativen durchdenkst und dich kritisch (oder zustimmend) mit dem vorgeschlagenen Weg auseinandersetzt. nicht alles was irgendwer sagt muss gut sein, ideen von erfahrenen leuten anzusehen kann fruchtbar sein. Aber der erste Schritt sollte immer sein. wie würd ich das wohl am besten verstanden haben, wie setz ich Schülerköpfe in Bewegung, usw.
auch in einem seminar ist es fruchtbarer sich nicht sklavisch an vorgegebenes zu halten sondern es kritisch zu durchleuchten.
Wär schön, wenn du dich dazu äußern würdest. (genau wie es für dich gut ist, nach einer Unterrichtsreihe die S. nach ihrem eindruck, kritik, zu befragen.)
Gruss leduart



Bezug
                                                                                                
Bezug
Integral in 5 Schritten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Mo 20.06.2011
Autor: Mathegirl

okay...die Lösung der Aufgabe habe ich soweit fertig ...

Aber nun die Frage: Wenn die Schüler den Flächeninhalt unter der Fläche berechnen sollen. das Intervall ist ja hier [0,18]  und die Schüler sollten Teilintervalle pro Lebensjahr bilden, also [0,1],[1,2]....[17,18]

In Schulbüchern ist jedoch immer die Funktion vorgegeben mit der sie f(x) berechnen können..wie machen das die Schüler hier??

x ist ja hier x=1 , da 1 Lebensjahr als Abschnitt gewählt wurde. soll der y-Wert lediglich am Graphen abgelesen werden?

Welche Formel ist hier ideal zur Berechnung der Ober- und Untersumme?

MfG
mathegirl

Bezug
                                                                                                        
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Integral in 5 Schritten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Mo 20.06.2011
Autor: leduart

Hallo
was würdest du machen, wenn du nur ne Kurve ohne Gleichung hättest? Wahrscheinlich kommen wenn du auf was kommst auch die Schüler drauf. dann ist es egal ob sie die unter oder ober oder ne andere summe berechnen. Auf unsere posts gehst du sehr wenig ein. Ich hoff du kriegst von S mehr Echo wie wir hier als deine "Lehrer". was für "Formeln" willst du denn? Dann brauchst du doch die Funktionen? mathematik auf "Formeln" zu reduzieren ist schrecklich, du willst doch Ideen rberkriegen. Wenn du erst den hauptsatz hast, gibts ja dann auch integrationsregeln, die man aus der Differentialrechnung kennt.
gruss leduart


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Integral in 5 Schritten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Mo 20.06.2011
Autor: Mathegirl

ja..das ist mir ja alles klar...die Schüler brauchen ja nur den y-Wert ablesen und jedes Rechteckt im Teilintervall unter der Kurve berechnen. Am Ende dann alle zusammen rechnen..

stimmt doch oder?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Integral in 5 Schritten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Mo 20.06.2011
Autor: angela.h.b.


> ja..das ist mir ja alles klar...die Schüler brauchen ja
> nur den y-Wert ablesen und jedes Rechteckt im Teilintervall
> unter der Kurve berechnen. Am Ende dann alle zusammen
> rechnen..
>  
> stimmt doch oder?

Hallo,

hast Du es durchgeführt?
Am Ergebnis kannst Du ja merken, ob Dein Tun wahrscheinlich richtig war.

Wenn Du das zu tun gedenkst, was ich mir vorstelle, dann ist es richtig.

Gruß v. Angela


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