Integral komplexe Fkt berechne < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:02 Mo 07.05.2007 | | Autor: | kampfsocke |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
a) [mm] \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z^{2}-1}dz}
[/mm]
b) [mm] \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{cos( \pi z )}{z^{2}-1}dz} [/mm] |
Hallo allerseits,
ich weiß einfach nicht wie man komplexe Integrale berechnet. Denn ich nehme mal z [mm] \in \IC [/mm] an; steht nicht explizit da.
Wenn ich eine holomorphe Funktion über eine Kreisscheibe integriere, müsste ja 0 rauskommen. Also wird die Funktion nicht holomorph sein. Das soll ich aber nicht zeigen.
Wahrscheinlich muss ich eine passende Paramerisierung finden. Die "normele" für eine Kreisscheibe: [mm] \gamma [/mm] (t) = [mm] z_{0}+re^{it} [/mm] (mit r=1 und [mm] z_{0}=1 [/mm] bringt mich aber auf keinen grünen Zweig.
Die Cauchysche Integralformel f(a)= [mm] \bruch{1}{2\pi i} \integral_{|z-z_{o}=r}^{}{\bruch{f(z)}{z-a} dz} [/mm] kenne ich, weiß aber nicht wie die mir helfen soll, weil ich ja nur f(a) raus bekomme.
Es wäe toll wenn ihr mir den Ansatz sagt, oder die Vorgehensweise. Denn genau da hapert es gerade.
Die b) müsste dann ziemlich ähnlich sein.
Die kriege ich aber hoffentlich selber raus, wenn ich die Vorgehensweise kenne.
Danke für eure Hilfe!
Sara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Mo 07.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Schreib jeweils den Nenner als Produkt von Linearfaktoren!
Mache dann eine Partialbruchzerlegung und teile das Integral auf.
Da Du die Cauchysche-Integralformel kennst, solltest Du dann auch jeweils auf eine Lösung kommen ...
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Hallo, danke für die schnelle Anwort.
mit PBZ bekomme ich [mm] \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z^{2}-1} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z-1} dz} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z+1} dz}
[/mm]
Das erste lässt sich schön mit der oben genannten Parametrisierung nach [mm] \pi [/mm] i auflösen, aber beim zweiten sieht es nicht so toll aus:
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z+1} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2+e^{it}}*ie^{it} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i}*ln(2+e^{it})
[/mm]
und nun die Grenzen eingesetzt: = [mm] \bruch{1}{i}*ln(2+e^{i2\pi})- \bruch{1}{i}*ln(3)
[/mm]
und das sieht ja nicht so schön aus.
Hab ich einen Fehler?
Danke für deine Hilfe,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Mo 07.05.2007 | | Autor: | kampfsocke |
Die Stammfunktion hat einen kleinen Fehler:
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2+e^{it}}*ie^{it} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}ln(2+e^{it})
[/mm]
also mit Grenzen: [mm] \bruch{1}{2}ln(2+e^{i2\pi})-\bruch{1}{3}ln(3)
[/mm]
das ist aber auch nicht besser
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Di 08.05.2007 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo allerseits.
Damit die Aufgabe nicht so verlohren hier steht, poste ich meine (fast) entgieltige Loesung nochmal.
[mm] \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z^{2}-1} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z-1} dz} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z+1} dz}
[/mm]
nach dem Cauchyschen Integralsatz fuer Kreischeiben mit f(z)=1, a=1 gilt:
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z-1} dz} [/mm] = [mm] \pii [/mm] f(1) = [mm] \pii
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{|z-1|=1}^{}{\bruch{1}{z+1} dz} [/mm] = [mm] \pii [/mm] f(-1) [mm] =\pii
[/mm]
Damit waere das gesamtergebnis 0?
Kann das so hinkommen?
Komische Aufgabe.
Viele Gruesse,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Mi 09.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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