Integral, komplexe zahl < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \int_0^{2\pi} \frac{e^{it(p+1)}}{2e^{it}-1} [/mm] dt
Hat wer einen Tipp wie ich das Integral ausrechnen könnte? |
Mein "Problem" ist die -1 im Nenner..
LG
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Hallo theresetom,
> [mm]\int_0^{2\pi} \frac{e^{it(p+1)}}{2e^{it}-1}[/mm] dt
> Hat wer einen Tipp wie ich das Integral ausrechnen
> könnte?
> Mein "Problem" ist die -1 im Nenner..
>
In der Funktionentheorie ist der ![[]](/images/popup.gif) Residuensatz
das geeignete Mittel, um dieses Integral zu lösen.
> LG
Gruss
MathePower
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Hallo,
aber was wähle ich hier als "f" um auf die geignete Form zu kommen..?
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Hallo therestom,
> Hallo,
> aber was wähle ich hier als "f" um auf die geignete Form
> zu kommen..?
Für f ist der Integrand zu nehmen.
Gruss
MathePower
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Ich muss dazusagen, dass wir den Residuensatz nicht hatten
Nur die Integralformel von Cauchy. Geht dies auch mit dieser?
LG
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Hallo theresetom,
> Ich muss dazusagen, dass wir den Residuensatz nicht hatten
> Nur die Integralformel von Cauchy. Geht dies auch mit
> dieser?
>
Ja.
Dazu benötigst Du zunächst eine Substitution:
[mm]\xi=e^{it}[/mm]
>
> LG
Gruss
MathePower
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Hallo
| [mm] \epsilon [/mm] = [mm] e^{it}, [/mm] d [mm] \epsilon= [/mm] i [mm] e^{it} [/mm] dt|
= [mm] \int \frac{\epsilon^{p+1}}{2\epsilon-1} [/mm] * [mm] \frac{d \epsilon}{i \epsilon}= \int \frac{\epsilon^{p+1}}{i \epsilon( 2\epsilon-1)} [/mm] d [mm] \epsilon= [/mm] 1/i [mm] \int \frac{\epsilon^{p}}{ 2\epsilon-1} [/mm] d [mm] \epsilon
[/mm]
Satz:
Sei f [mm] \in H(\Omega) [/mm] und [mm] \Gamma [/mm] eine in [mm] \Omega [/mm] nullhomotope geschlossene Kurve. Dann gilt für z [mm] \in \Omega \setminus \Gamma^{\*}
[/mm]
[mm] \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta [/mm] = [mm] \operatorname{ind}_{\Gamma}(z)f(z). [/mm]
Als Windungszahl wähle ich hier 1 oder?
[mm] \gamma(t)= [/mm] 2 [mm] e^{it} [/mm] ist geschlossen
ABer was ist nun mein f?
EDIT: DIe ganze aufgabe war: [mm] \int_{\gamma} \frac{z^p}{z-1} [/mm] für [mm] \gamma [/mm] positiv orientierte Rans am Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 2
[mm] \gamma(t)=2e^{it}, \gamma: [0,2\pi]->\IC
[/mm]
[mm] \int_{\gamma} \frac{z^p}{z-1} [/mm] = [mm] \int_0^{2\pi} \frac{(2e^{it})^p}{2 e^{it} -1} [/mm] * 2i [mm] e^{it} [/mm] dt = [mm] 2^{p+1} [/mm] i $ [mm] \int_0^{2\pi} \frac{e^{it(p+1)}}{2e^{it}-1} [/mm] $ dt =..= [mm] 2^{p+1} \int \frac{\epsilon^{p}}{ 2\epsilon-1} [/mm] d [mm] \epsilon
[/mm]
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Hallo thererstom,
> Hallo
> | [mm]\epsilon[/mm] = [mm]e^{it},[/mm] d [mm]\epsilon=[/mm] i [mm]e^{it}[/mm] dt|
> = [mm]\int \frac{\epsilon^{p+1}}{2\epsilon-1}[/mm] * [mm]\frac{d \epsilon}{i \epsilon}= \int \frac{\epsilon^{p+1}}{i \epsilon( 2\epsilon-1)}[/mm]
> d [mm]\epsilon=[/mm] 1/i [mm]\int \frac{\epsilon^{p}}{ 2\epsilon-1}[/mm] d
> [mm]\epsilon[/mm]
>
> Satz:
> Sei f [mm]\in H(\Omega)[/mm] und [mm]\Gamma[/mm] eine in [mm]\Omega[/mm] nullhomotope
> geschlossene Kurve. Dann gilt für z [mm]\in \Omega \setminus \Gamma^{\*}[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta[/mm]
> = [mm]\operatorname{ind}_{\Gamma}(z)f(z).[/mm]
>
> Als Windungszahl wähle ich hier 1 oder?
Ja.
> [mm]\gamma(t)=[/mm] 2 [mm]e^{it}[/mm] ist geschlossen
> ABer was ist nun mein f?
>
Forme den Integranden so um,
daß die Integralformel angewendet werden kann.
> EDIT: DIe ganze aufgabe war: [mm]\int_{\gamma} \frac{z^p}{z-1}[/mm]
> für [mm]\gamma[/mm] positiv orientierte Rans am Kreis mit
> Mittelpunkt 0 und Radius 2
> [mm]\gamma(t)=2e^{it}, \gamma: [0,2\pi]->\IC[/mm]
> [mm]\int_{\gamma} \frac{z^p}{z-1}[/mm]
> = [mm]\int_0^{2\pi} \frac{(2e^{it})^p}{2 e^{it} -1}[/mm] * 2i [mm]e^{it}[/mm]
> dt = [mm]2^{p+1}[/mm] i [mm]\int_0^{2\pi} \frac{e^{it(p+1)}}{2e^{it}-1}[/mm]
> dt =..= [mm]2^{p+1} \int \frac{\epsilon^{p}}{ 2\epsilon-1}[/mm] d
> [mm]\epsilon[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo nochmal,
Also (ich mache nun beim Integral weiter von der Edit-Aufgabe mit i dividiert)
$ [mm] 2^{p+1} \int \frac{\epsilon^{p}}{ 2\epsilon-1} [/mm] $ d = [mm] 2^{p+1} \int \frac{\frac{\epsilon^p}{2}}{\epsilon -1/2}
[/mm]
[mm] f(\epsilon) [/mm] = [mm] \frac{\epsilon^p}{2}
[/mm]
f [mm] \in H(\IC)
[/mm]
z= 1/2 für den Satz.
Was nehme ich nun als [mm] \gamma.
[/mm]
Weil was ich jetzt stehen habe, ist ja kein Kurvenintegral mehr=???
ODER hätte ich schon von anfang an die Formel anwenden soll beo [mm] \int_\gamma \frac{z^p}{z-1} [/mm] ?
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Hallo theresetom,
> Hallo nochmal,
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> Also (ich mache nun beim Integral weiter von der
> Edit-Aufgabe mit i dividiert)
>
> [mm]2^{p+1} \int \frac{\epsilon^{p}}{ 2\epsilon-1}[/mm] d = [mm]2^{p+1} \int \frac{\frac{\epsilon^p}{2}}{\epsilon -1/2}[/mm]
>
> [mm]f(\epsilon)[/mm] = [mm]\frac{\epsilon^p}{2}[/mm]
>
> f [mm]\in H(\IC)[/mm]
> z= 1/2 für den Satz.
>
> Was nehme ich nun als [mm]\gamma.[/mm]
Nun, da substituiert wurde ist [mm]\gamma\left(t\right)=e^{it}[/mm]
> Weil was ich jetzt stehen habe, ist ja kein Kurvenintegral
> mehr=???
>
> ODER hätte ich schon von anfang an die Formel anwenden
> soll beo [mm]\int_\gamma \frac{z^p}{z-1}[/mm] ?
Gruss
MathePower
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