Integral mit Parameter < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Di 27.01.2009 | | Autor: | lolsusl |
| Aufgabe | Für k>0 ist die Funktion f(x)= kx(x-4).
a) Bestimme k so, dass die Fläche zwischen der Geraden y=x und dem Graphen von f einen minimalen Inhalt hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Okay, also es muss als das Integral einer Differenzfunktion gebildet werden.
Um die Intervalgrenzen zu kennen muss man ja die Schnittpunkte kennen, also gleichsetzten. Dabei habe ich y=x als g(x) bezeichnet.
[mm]f(x)=g(x)[/mm]
[mm]kx(x-4)=x[/mm]
[mm]kx²-4x=x[/mm]
[mm]kx²-5x=0[/mm]
[mm]x_1/2 = \bruch{5k}{2} \pm \wurzel{ \bruch{25k^2}{4}}[/mm]
[mm]x_1=0[/mm]
[mm]x_2=5k[/mm]
Das sind ja damit die Intervalgrenzen.
[mm]A= \integral_{0}^{5k}{(g(x)-f(x)) dx}[/mm]
[mm]A= \integral_{0}^{5k}{(-kx^2-3kx) dx}[/mm]
[mm]A=[ -\bruch{k}{3}x^3 - \bruch{3}{2}x^2 ] [/mm] Und hier müssen noch die Intervalgrenzen ran, obere Grenze 5k, untere Grenze 0.
[mm]A= -\bruch{k}{3}(5k)^3 - \bruch{3}{2}(5k)^2 - 0[/mm]
[mm]A= -\bruch{125}{3}k^4 - \bruch{75}{2}k^2[/mm]
Das wäre mein Ergebnis für den Flächeninhalt, da ist jetzt aber das k gesucht für welches dieser minimal wird. Also muss dort die erste Ableitung Null sein und die Zweite größer als Null.
[mm]A'=0[/mm]
[mm]-\bruch{500}{3}k^3 - 75k = 0[/mm]
[mm]k ( -\bruch{500}{3}k^2 - 75 ) = 0 [/mm]
[mm]k_1=0[/mm] -> nicht für Aufgabe relevant, das k>0 sein muss.
[mm]( -\bruch{500}{3}k^2 - 75 ) = 0[/mm]
[mm]( -\bruch{500}{3}k^2 } = 75 [/mm]
[mm]k^2 = - \bruch{225}{500}[/mm]
Ja, und da kommt der Schlips ins Rad... Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen, also habe ich wohl auf dem Weg dahin einen Fehler gemacht... ich weiß nur leider nicht wo.
Wär über Hilfe sehr dankbar.
Ach und rauskommen muss k=1/2.
|
|
| |
|
Hallo, dein Vorgehen ist prinzipiell richtig, leider hast du ziemlich am Anfang eine Faktor verbasselt
kx(x-4)=x
[mm] k*x^{2}-4*k*x=x [/mm] du hast nur -4x stehen
[mm] k*x^{2}-4*k*x-x=0
[/mm]
[mm] x^{2}-4x-\bruch{1}{k}x=0
[/mm]
[mm] x^{2}-x(4+\bruch{1}{k})=0
[/mm]
[mm] x(x-4-\bruch{1}{k})=0
[/mm]
[mm] x_1=0 [/mm] deine untere Grenze
[mm] x_2=4+\bruch{1}{k} [/mm] deine obere Grenze
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Di 27.01.2009 | | Autor: | lolsusl |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Riesigen Danke für die schnelle Antwort.
Okay, ich sehe gerade, dass ich mich da etwas vertippt habe.
In meinen Aufzeichnung habe ich noch -4kx und -5kx statt -4x und -5x stehen. und habe auch damit weiter gerechnet.
Und da war ich mir auch nicht sicher, dürfte ich
[mm] -4kx=x[/mm] zu [mm]-5kx=0[/mm] umformen?
Deiner Umformung kann ich soweit folgen, nur beim letzten Schritt verstehe ich es leider nicht. Könntest du mir das bitte nochmal erklären?
|
|
|
| |
|
Hallo,
du möchtest offenbar -4kx-x zusammenfassen zu -5kx, was aber nur möglich wäre bei -4kx-kx
[mm] x(x-4-\bruch{1}{k})=0 [/mm] an dieser Stelle wurde x ausgeklammert
ein Produkt ist gleich Null, ist einer der beiden Faktoren Null
1. Faktor:
x=0
2. Faktor
[mm] x-4-\bruch{1}{k}=0 [/mm] addiere 4 und [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] x=4+\bruch{1}{k}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Di 27.01.2009 | | Autor: | lolsusl |
Super, habe alles verstanden.
Du hast mir echt klasse weiter geholfen! Thumbs up!
|
|
|
|
