Integral mit Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Di 01.09.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{\gamma}{\wurzel{z}dz}
[/mm]
[mm] \gamma: [/mm] Kreis mit Zentrum 0 und Radius 1, positiv orientiert. |
Ich habe das Integral problemlos mit der Formel für Weginterale lösen können:
[mm] \integral_{\gamma}{\wurzel{z}dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{e^{\bruch{it}{2}}*i*e^{it}dt}.
[/mm]
So habe ich dann [mm] -\bruch{4}{3} [/mm] erhalten. Dies sollte meines Wissens nach korrekt sein.
Doch nun möchte ich dieses Integral mit Hilfe des Residuensatzes bestimmen.
Ich muss also zuerst überprüfen, wo die Funktion [mm] \wurzel{z} [/mm] holomorph ist.
Ich denke, dass diese Funktion in ganz [mm] \IC [/mm] holomorph ist. Oder liege ich da falsch? Wie könnte ich denn überprüfen, wo die Funktion holomorph ist? Ich bin wie folgt vorgegangen:
[mm] \wurzel{z} [/mm] = [mm] \wurzel{x + iy}. [/mm] Doch dies möchte ich nun in Real- und Imaginärteil aufteilen. Wie geht das?
Dann könnte ich mit Hilfe der Cauchy-Riemann-Gleichungen die Holomorphie überprüfen. Kann ich das so machen? Oder besser anders?
Also, angenommen die Funktion ist tatsächlich auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph, dann ist das Residum überall gleich 0. Also würde ich mit Hilfe des Residuensatzes erhalten, dass mein gesuchtes Integral 0 ist. Doch das kann ja nicht stimmen. Was ist hier genau falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Di 01.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie folgendes Integral:
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> [mm]\integral_{\gamma}{\wurzel{z}dz}[/mm]
>
> [mm]\gamma:[/mm] Kreis mit Zentrum 0 und Radius 1, positiv
> orientiert.
> Ich habe das Integral problemlos mit der Formel für
> Weginterale lösen können:
>
> [mm]\integral_{\gamma}{\wurzel{z}dz}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{e^{\bruch{it}{2}}*i*e^{it}dt}.[/mm]
>
> So habe ich dann [mm]-\bruch{4}{3}[/mm] erhalten. Dies sollte meines
> Wissens nach korrekt sein.
> Doch nun möchte ich dieses Integral mit Hilfe des
> Residuensatzes bestimmen.
>
> Ich muss also zuerst überprüfen, wo die Funktion
> [mm]\wurzel{z}[/mm] holomorph ist.
> Ich denke, dass diese Funktion in ganz [mm]\IC[/mm] holomorph ist.
> Oder liege ich da falsch?
Nein, die Funktion [mm] $\wurzel{z}$ [/mm] ist im Punkt z=0 nicht differenzierbar. Die Ableitung der Wurzelfunktion im Punkt [mm] $z_0$ [/mm] ist
[mm] \lim_{z\to z_0} \bruch{\wurzel{z} -\wurzel{z_0}}{z-z_0} = \lim_{z\to z_0} \bruch{\wurzel{z} -\wurzel{z_0}}{(\wurzel{z} -\wurzel{z_0})(\wurzel{z} +\wurzel{z_0})} = \lim_{z\to z_0} \bruch{1}{\wurzel{z} +\wurzel{z_0}} [/mm]
Dieser Grenzwert existert für alle Werte von [mm] $z_0\in \IC$ [/mm] außer für [mm] $z_0=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Di 01.09.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> Dieser Grenzwert existert für alle Werte von [mm]z_0\in \IC[/mm]
> außer für [mm]z_0=0[/mm].
aja genau.
Doch wie kann ich nun das Residum bestimmen? Ist wohl ziemlich schwer...
Ich vermute mal, dass es sich hierbei um eine wesentliche Singularität handelt?
Doch etwas merkwürides habe ich entdeckt:
Falls es sich bei einer Singularität um eine hebbare Singularität handelt, gilt ja,
[mm] \limes_{z\rightarrow c} [/mm] f(z)*(z-c)= 0.
Falls dieser Grenzwert 0 ist, handelt es sich bei c um eine hebbare Singularität.
Wende ich nun diese Aussage auf [mm] \wurzel{z} [/mm] an:
[mm] \limes_{z\rightarrow 0} \wurzel{z}*(z-0)= [/mm] 0.
Also sollte es sich bei 0 um eine hebbare Singularität handeln. Doch das kann ja wirklich nicht der Fall sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mi 02.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> > Dieser Grenzwert existert für alle Werte von [mm]z_0\in \IC[/mm]
> > außer für [mm]z_0=0[/mm].
>
> aja genau.
> Doch wie kann ich nun das Residum bestimmen? Ist wohl
> ziemlich schwer...
> Ich vermute mal, dass es sich hierbei um eine wesentliche
> Singularität handelt?
>
> Doch etwas merkwürides habe ich entdeckt:
> Falls es sich bei einer Singularität um eine hebbare
> Singularität handelt, gilt ja,
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow c}[/mm] f(z)*(z-c)= 0.
>
> Falls dieser Grenzwert 0 ist, handelt es sich bei c um eine
> hebbare Singularität.
>
> Wende ich nun diese Aussage auf [mm]\wurzel{z}[/mm] an:
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0} \wurzel{z}*(z-0)=[/mm] 0.
> Also sollte es sich bei 0 um eine hebbare Singularität
> handeln. Doch das kann ja wirklich nicht der Fall sein,
> oder?
Es ist ja auch keine isolierte Singularität. Dazu müsste die Funktion in einer punktierten Umgebung von 0 holomorph sein. Wie Felix schon schrieb, ist das nicht der Fall.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen Sie folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{\gamma}{\wurzel{z}dz}[/mm]
>
> [mm]\gamma:[/mm] Kreis mit Zentrum 0 und Radius 1, positiv
> orientiert.
Da fehlt noch etwas ganz wichtiges: was soll [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] ueberhaupt sein?
Es gibt keine Moeglichkeit, [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] als stetige (und insbesondere nicht als holomorphe) Funktion auf [mm] $\IC$ [/mm] zu definieren.
Wer hat diese Aufgabe gestellt?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mi 02.09.2009 | | Autor: | johnny11 |
hallo,
Also die Aufgabe hab ich ja lösen können.
Ich wollte nur noch zusätzlich einen anderen Lösungsweg ausprobieren. Nämlich mit Hilfe des Residuensatzes. Doch dies klappt dann wohl also nicht sehr gut.
LG
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