Integral mit Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral mit Hilfe des Residuensatzes von Cauchy:
[mm] \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{z}{sin^2(z)} dz} [/mm] |
Hallo zusammen,
habe leider Probleme bei der Berechnung dieses Integrals.
Die einzige Singularität die im innern der Kreisscheibe liegt ist ja bei [mm] z_0=0. [/mm] Das Integral sollte ja für alle anderen Singularitäten Null sein, da diese außerhalb des Kreises mit Radius 2 liegen!<- Richtig?
Aber wie komme ich jetzt darauf, dass der Integrand einen einfachen Pol an dieser Stelle hat. Habs schon mit umschreiben, Laurentreihenentwicklung(leider gescheitert) versucht...allerdings ohne Erfolg.
Kann mir jemand von euch weiterhelfen? Ich komme leider nicht mehr alleine weiter.
Vielen Dank im Voraus!
liebe grüße, die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mo 16.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo kittie!
> Berechnen Sie das folgende Integral mit Hilfe des
> Residuensatzes von Cauchy:
>
> [mm]\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{z}{sin^2(z)} dz}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> habe leider Probleme bei der Berechnung dieses Integrals.
> Die einzige Singularität die im innern der Kreisscheibe
> liegt ist ja bei [mm]z_0=0.[/mm] Das Integral sollte ja für alle
> anderen Singularitäten Null sein, da diese außerhalb des
> Kreises mit Radius 2 liegen!<- Richtig?
Das ist nicht ganz richtig formuliert. Das Integral ist nicht 0 für die anderen Singularitäten, sondern nach dem Residuensatz tragen nur die Singularitäten innerhalb der Kreisscheibe mt Radius 2 um 0 bei.
> Aber wie komme ich jetzt darauf, dass der Integrand einen
> einfachen Pol an dieser Stelle hat. Habs schon mit
> umschreiben, Laurentreihenentwicklung(leider gescheitert)
> versucht...allerdings ohne Erfolg.
> Kann mir jemand von euch weiterhelfen? Ich komme leider
> nicht mehr alleine weiter.
Sowohl Zähler und Nenner haben Nullstellen im Punkt $z=0$, der Zähler eine einfache Nullstelle, der Nenner eine zweifache (weil der Sinus eine einfache Nullstelle hat). Daher bleibt eine einfache Nullstelle im Nenner übrig, also ein einfacher Pol.
Andere Betrachtungsweise:
[mm] \bruch{z}{\sin^2 z} = \bruch{1}{z} \bruch{z^2}{\sin^2 z} = \bruch{1}{z} \left(\bruch{z}{\sin z}\right)^2 [/mm].
Die Funktion [mm] $\bruch{\sin z}{z}$ [/mm] hat in $z=0$ eine hebbare Singularität, es ist außerdem [mm] $\lim_{z\to0} \bruch{\sin z}{z} [/mm] = 1$. Daher bleibt nur der Pol im Faktor [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] als Singularität übrig.
Dies liefert dir auch sofort das Residuum: wegen [mm] $\lim_{z\to0} \bruch{\sin z}{z} [/mm] = 1$ ist
[mm] \lim_{z\to 0} (z*\bruch{z}{\sin^2 z}) = \lim_{z\to 0} \left(\bruch{z}{\sin z}\right)^2 = 1 [/mm].
Ganz zum Schluss noch eine etwas andere Methode, bei der du nur die Taylorentwicklung des Sinus voraussetzen musst:
[mm] \sin z = \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z * \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{z^{2n}}{(2n+1)!} = z*g(z)[/mm] .
mit $g(z) := [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{z^{2n}}{(2n+1)!}$. [/mm] Damit ist
[mm] \bruch{z}{\sin^2 z} = \bruch{z}{z^2*g(z)^2} = \bruch{1}{z} \bruch{1}{g(z)^2} [/mm].
Da die Funktion $g(z)$ holomorph und $g(0)=1$ ist, hat dein Integrand offensichtlich einen Pol 1. Ordnung mit Residuum 1.
Diese letzte Methode lässt sich mit etwas Vorsicht sehr oft anwenden: Du schaust dir nur an, mit welcher Potenz von $z$ bzw. [mm] $z-z_0$ [/mm] die Reihenentwicklungen von Zähler und Nenner anfangen.
Viele Grüße
Rainer
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