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Integral mit Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:05 Do 27.04.2017
Autor: Paivren

Guten Abend,

kurze Frage:
Die Funktion [mm] \bruch{1}{x} [/mm] divergiert bekanntlich für x gegen 0.

[mm] \integral_{-a}^{a}{\bruch{1}{x} dx}= [/mm] 0 , da die Funktion punktsymmetrisch bezüglich der Polstelle und das Integrationsintervall symmetrisch darum herum ist.

Ist das "streng mathematisch" korrekt?
Ich bin skeptisch, da gewisse Online Rechner das Integral als divergent einstufen. Das liegt aber vermutlich an der numerischen Berechnungsweise.


Gruß

        
Bezug
Integral mit Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:32 Do 27.04.2017
Autor: Fulla

Hallo Paivren!

> [mm]\integral_{-a}^{a}{\bruch{1}{x} dx}=[/mm] 0 , da die Funktion
> punktsymmetrisch bezüglich der Polstelle und das
> Integrationsintervall symmetrisch darum herum ist.

>

> Ist das "streng mathematisch" korrekt?

[mm]f(x)=\frac 1x[/mm] ist bei [mm]x=0[/mm] nicht integrierbar. Wenn die Polstelle aber nicht Rand des Integrationsbereiches ist, stimme ich dir zu, dass aufgrund der Symmetrie entsprechende Bereiche wegfallen.


Lieben Gruß,
Fulla

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Integral mit Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:41 Do 27.04.2017
Autor: fred97

Für a>0 ist das Integral $ [mm] \integral_{-a}^{a}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $ ein uneigentliches Integral. Nach Definition(!) konvergiert es genau dann, wenn die beiden Integrale

$ [mm] \integral_{-a}^{0}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $  und $ [mm] \integral_{0}^{a}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $

konvergieren. Die letzten beiden Integrale sind aber divergent, also ist $ [mm] \integral_{-a}^{a}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $ divergent.



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Integral mit Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Do 27.04.2017
Autor: Chris84

Huhu,
schau mal hier:

[]Cauchyscher Hauptwert

Bezug
                
Bezug
Integral mit Singularität: kleine Warnung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Do 27.04.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> []Cauchyscher Hauptwert


Nur zur Warnung sei gesagt:

Mit derartigen "Auswegen" bei eigentlich undefinierten Termen
ist jedenfalls Vorsicht geboten.  Ich sehe da z.B. eine gewisse
Analogie zu den vielen Youtube-Videos, in welchen die Gleichung


    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +8 + 9 + 10 + 11 + ........ =  - 1 / 12

"bewiesen" wird !

Nur ein Beispiel:   https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

LG  ,   Al-Chw.

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Integral mit Singularität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:24 Do 27.04.2017
Autor: Chris84


> > []Cauchyscher Hauptwert
>
>
> Nur zur Warnung sei gesagt:

Huhu Al,

>  
> Mit derartigen "Auswegen" bei eigentlich undefinierten
> Termen
> ist jedenfalls Vorsicht geboten.  Ich sehe da z.B. eine
> gewisse

Ich wollte natürlich nicht sagen oder implizieren, dass obiges Integral existiert (auch hinreichend in dem Wikipediaartikel beschrieben) :)

> Analogie zu den vielen Youtube-Videos, in welchen die
> Gleichung
>  
>
> 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +8 + 9 + 10 + 11 + ........ =  -
> 1 / 12
>  
> "bewiesen" wird !
>  

Aber es gilt sehr wohl, dass [mm] $\zeta(-1)=-1/12$. [/mm] Aber dafür ist ja auch tatsächlich eine andere Darstellung der Riemannschen Zetafunktion [mm] $\zeta$ [/mm] nötig als die Reihendarstellung!

> Nur ein Beispiel:  
> https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
>  
> LG  ,   Al-Chw.

Gruß,
Chris

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Integral mit Singularität: Unfug bleibt Unfug
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Do 27.04.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo  Chris,

ist mir alles klar und sehr wohl bewusst.
Trotzdem halte ich es für einen Unfug, wenn so getan wird, als könne
man die Gleichung

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + ........ =  -  1 / 12

mit Mitteln der "höheren Mathematik"   wirklich "beweisen" !

Auf recht einfache Weise kann man sonst zum Beispiel auch die
folgende Gleichung "beweisen":

    1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 +  ........ =  -  1

Der "Beweis" ist übrigens überaus einfach: Man wende einfach die
Summenformel für die unendliche geometrische Reihe an:

       [mm] $\text{\qquad \Huge{\ s_\infty\ =\ \frac{a_1}{1-q}\ \ \ }}$ [/mm]

für das vorliegende Beispiel an:

Die einzusetzenden Werte:    Anfangsglied  [mm] a_1 [/mm] = 1  ,   Quotient  q = 2  .




LG ,    Al-Chw.  

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Integral mit Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Do 27.04.2017
Autor: Paivren

Hallo liebe Leute,

ich danke euch für die Antworten!


Es ist also nicht Riemann-integrierbar, aber man kann ihm einen "sinnvollen" Wert zuordnen (Cauchy-Hauptwert).

Ich verstehe nur nicht ganz den Unterschied zw. uneigentlichem Integral und Cauchy-Hauptwert.

Auf der Wikipedia-Seite wird ja der Unterschied anhand von 1/x demonstriert:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert

Aber so wie sie es dort vorführen, kommt der Unterschied doch nur daher, dass ich einmal eine künstliche Variable [mm] \epsilon [/mm] einführe, um mich an die Polstelle anzunäheren, sodass man den Limes ausklammern kann und sich die Ergebnisse beider Integrale aufheben, und einmal eben nicht.

Wie kann man verstehen, dass bei beiden Vorgängen was Unterschiedliches rauskommt, obwohl es doch inhaltlich ein und das selbe ist: Eine Grenzwertannäherung einer Integrationsgrenze an die Polstelle?

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Integral mit Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Fr 28.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  um mich an die Polstelle anzunäheren

und da liegt der Hase im Pfeffer begraben!
Es kommt auf die Art und Weise an, "wie" du dich an die Polstelle annäherst.
Beim Cauchyschen Hauptwert näherst du dich von beiden Seiten gleich an, das ist eine ziemlich starke Einschränkung.

Du kannst es auch so sehen, dass du um die Polstelle einen symmetrischen Bereich, nennen wir ihn A, herausnimmst und diesen Bereich A immer weiter verkleinerst.

Du betrachtest also den Grenzwert des Integrals für $|A| [mm] \to [/mm] 0$ und falls dieser Grenzwert existiert, so nennen wir ihn Cauchyschen Hauptwert.

Beim uneigentlichen Riemannintegral muss der Bereich, nennen wir ihn B, den du "herausnimmst" nicht mehr symmetrisch sein. Du darfst dich der Polstelle also auf jede beliebige Weise annähern.

Du betrachtest also wieder den Grenzwert des Integrals für [mm] $|B|\to [/mm] 0$ , dabei umfassen die Bereiche B aber viel mehr als beim Cauchyschen Hauptwert, wodurch es kaputt gehen kann.

Man kann zeigen, dass die Vorgehensweise im Fall B äquivalent ist, den rechtseitigen Grenzwert und linksseitigen Grenzwert seperat zu betrachten und dann das Integral zu definieren als $ [mm] \integral_{-a}^{a}{\bruch{1}{x} dx}= \integral_{-a}^{0}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] +  [mm] \integral_{0}^{a}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $

Beim Riemannintegral in deinem Fall taucht dabei aber der Ausdruck [mm] "$\infty [/mm] - [mm] \infty$" [/mm] auf, und dieser ist nicht definiert (ähnlich wie Division durch 0).

Gruß,
Gono


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Integral mit Singularität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 So 30.04.2017
Autor: Paivren

Hallo Gono,

vielen Dank für die Schilderung :)

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Integral mit Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:21 Mi 03.05.2017
Autor: Paivren

Ich habe nochmal eine Frage:

Wenn ich bei der Integration [mm] \integral_{0}^{8}{\bruch{1}{x-2} dx} [/mm] so tu, als wäre die Funktion überall wohldefiniert und einfach "stumpf" integriere, also die Stammfunktion ln(|x-2|) annehme, so kommt man auf ln(3). Dies entspricht dem Cauchy-Hauptwert.

Gibt es auch Beispiele, bei denen der Cauchy-Hauptwert existiert, aber durch diese "stumpfe Integration" nicht errechnet wird, man also ein komplett falsches Ergebnis heraus bekommt?
Weil wenn nicht, dann handelt es sich mit den Grenzwerten und der Splittung des Integrals nur um eine "korrektere" Schreibweise und nichts essentielles...


Bezug
                                
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Integral mit Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Mi 03.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Gibt es auch Beispiele, bei denen der Cauchy-Hauptwert
> existiert, aber durch diese "stumpfe Integration" nicht
> errechnet wird, man also ein komplett falsches Ergebnis
> heraus bekommt?

berechne doch mal [mm] $\int_{0}^8 [/mm] f(x) dx$ für $f(x) = [mm] \begin{cases} \frac{1}{x-2}, & \mbox{für } x < 2 \\ \frac{1}{x-2} + 1, & \mbox{für } x > 2 \end{cases}$ [/mm] auf beiden Wegen.

Gruß,
Gono


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Integral mit Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 So 07.05.2017
Autor: Paivren

Das ist kein passendes Beispiel, lies dir bitte nochmal meine letzte Frage durch.

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Bezug
Integral mit Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 So 07.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das ist kein passendes Beispiel

doch, ist es.
Denn die "stumpfe" Integration liefert einen anderen Wert als den Cauchyschen Hauptwert…

Ansonsten konkretisiere deine Frage.

Gruß,
Gono

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Integral mit Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 So 07.05.2017
Autor: Paivren

Mir ist klar, dass der Cauchy-Hauptwert existieren kann, auch, wenn das Integral divergiert, das hatten wir ja schon oben.

Aber:
Wenn ein Schüler eine Funktion mit Singularität integrieren will (deine hat ja gar keine) und nicht merkt, dass die Funktion eine Singularität hat, zB. bei [mm] \integral_{0}^{8}{\bruch{1}{x-2} dx}. [/mm]
Dann würde er hier nicht auf die Idee kommen, das uneigentliche Integral hinzuschreiben.

Er würde stattdessen einfach mit der Stammfunktion F(x)=ln|x-2| rechnen, also F(8)-F(2). Und da kommt ja der Cauchy-Hauptwert des Integrals raus.

Das heißt, der Schüler könnte sagen: "Ok, ich habe nichts von der Singularität bemerkt, komme aber im Ergebnis auf den Cauchy-Hauptwert. Warum verlangst du jetzt von mir, dass ich das ganze Zeug mit dem Limes mache, wenn ich auch so auf das richtige Ergebnis komme?"

Ich würde diesem Schüler gerne ein Gegenbeispiel geben, bei dem das Ignorieren der Singularität und das Verzichten auf jedwede Grenzwertbetrachtungen, nicht zum Cauchy-Hauptwert führt.

Ist es so verständlicher :)?

Bezug
                                                                
Bezug
Integral mit Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 So 07.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mir ist klar, dass der Cauchy-Hauptwert existieren kann,
> auch, wenn das Integral divergiert, das hatten wir ja schon
> oben.

Das hat aber nichts mit meinem Beispiel zu tun…

>  
> Aber:
>  Wenn ein Schüler eine Funktion mit Singularität
> integrieren will (deine hat ja gar keine)

Natürlich hat meine Funktion eine Singularität bei 2… genau wie deine auch. Nicht richtig gelesen?


> Er würde stattdessen einfach mit der Stammfunktion
> F(x)=ln|x-2| rechnen, also F(8)-F(2). Und da kommt ja der
> Cauchy-Hauptwert des Integrals raus.

Und genau das funktioniert bei meiner Funktion nicht.
Nochmal: Rechne das doch mal mit meiner Funktion durch!


> Ich würde diesem Schüler gerne ein Gegenbeispiel geben,
> bei dem das Ignorieren der Singularität und das Verzichten
> auf jedwede Grenzwertbetrachtungen, nicht zum
> Cauchy-Hauptwert führt.
>  
> Ist es so verständlicher :)?

Das habe ich von Anfang an verstanden… du nur offensichtlich nicht, dass mein Beispiel genau das tut.
Da hilft nur: Rechne das doch mal an meinem Beispiel für beide Fälle durch… und staune.

Gruß,
Gono


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