Integral mit Untersumme < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mo 05.03.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Berechne das Integral [mm] \integral_{1}^{a}{ln(x) dx} [/mm] mit Hilfe der Untersumme. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin neu hier - will mich also erst einmal für etwaige Fehler entschuldigen; sei es, dass ich das Thema im Forum an die falsche Stelle gepostet habe, oder Formatierungsfehler vorhanden sind. Das das Thema schon einmal auftritt, kann sein, ich habe jedoch ausführlich nach ähnlichen Themen gesucht. Danke für euer Verständnis. Mit der Zeit wird es sicher besser.
Nun zur Aufgabe:
Folgendes habe ich mir gedacht.
Sei [mm] P_{n}= [/mm] {0, [mm] \bruch{a}{n}, \bruch{2a}{n},...,\bruch{(n-1)a}{n}, [/mm] a} äquidistante (gleichmäßige) Partition.
Für die Untersumme:
[mm] \summe_{i=1}^{n} ln(\bruch{(i-1)a}{n})*(\bruch{ia}{n} [/mm] - [mm] \bruch{(i-1)a}{n})
[/mm]
Die hintere Klammer kann man umschreiben:
[mm] \summe_{i=1}^{n} ln(\bruch{(i-1)a}{n})*(\bruch{ia}{n} [/mm] - [mm] \bruch{ia}{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{n})
[/mm]
ergo
[mm] \summe_{i=1}^{n} ln(\bruch{(i-1)a}{n})*(\bruch{a}{n})
[/mm]
= [mm] (\bruch{a}{n}) [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} ln(\bruch{(i-1)a}{n})
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Die "einfachen" Integrale, wie [mm] x^{2} [/mm] bekomme ich so hin, aber mich stört das [mm] ln(\bruch{(i-1)a}{n}). [/mm] Wäre super, wenn mir das jemand erklären kann.
Nachdem Beitrag von heyks, habe ich die untere Grenze verschoben. Vielen Dank für den Hinweis, aber weiter bringt mich das auch noch nicht. Nun stimmt doch die Partition auch nicht mehr, oder?
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Mo 05.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo barsch,
> Berechne das Integral [mm]\integral_{0}^{a}{ln(x) dx}[/mm] mit Hilfe
> der Untersumme.
bist Du sicher, das 0 die untere Integrationsgrenze ist (nicht etwa 1) ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 05.03.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Aufgabe siehe oben |
Hi,
ich habe die Untergrenze geändert. Danke für den Hinweis. Wie gehe ich dann vor? Die obere Partition kann ja dann nicht mehr stimmen, oder?
Hoffe, jmd. kann mir (auch nur Ansatzweise) helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Mo 05.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo barsch,
>
> ich habe die Untergrenze geändert. Danke für den Hinweis.
> Wie gehe ich dann vor? Die obere Partition kann ja dann
> nicht mehr stimmen, oder?
Du mußt nur zum Argument des [mm] \ln [/mm] 1 addieren.
>
> Hoffe, jmd. kann mir (auch nur Ansatzweise) helfen.
Muß es denn unbedingt die Untersumme sein, mit der Du das Integral berechnen sollst ?
Wenn Du das Integral mittels Riemannscher Summen berechnest, kannst Du auch eine andere Unterteilung ds Intervalls vornehmen.
LG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Mo 05.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
>
> Du mußt nur zum Argument des [mm]\ln[/mm] 1 addieren.
>
>
> Muß es denn unbedingt die Untersumme sein, mit der Du das
> Integral berechnen sollst ?
Es kann auch die Obersumme sein :)
Mein Prof eben. Kann ich nichts für. Ich habe es schon mit der e-Fkt. und x² erfolgreich gemacht. Kennen Sie evtl. etwas (ein Buch/ eine Internetseite) wo ich sowas ganz genau nachlesen und lernen kann?
Das ist wohl nicht ganz einfach, wie ich an der Resonanz sehe.
Vielen Dank soweit.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Eine Bemerkung von heyks aufgreifend:
nimm Intervalle, die nicht äquidistant sind, sondern etwas praktischer.
So in Richtung
1, [mm] a^{1/n}, a^{2/n}, a^{3/n}, [/mm] ..., [mm] a^{(n-1)/n}, [/mm] a.
Das kommst mir vielversprechend vor, ich hab's aber nicht gerechnet.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Di 06.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hab den Gedanken von Angela mal durchgerechnet.
die Untersumme ist
[mm] U=\summe_{i=1}^{N}ln\left(a^{\br{i-1}{N}}\right)\left(a^{\br{i}{n}-\br{i-1}{N}}\right) [/mm] und das ist gleich zu
[mm] U=\left(a^{\br{1}{N}}-1\right)*\summe_{i=1}^{N}ln\left(a^{\br{i-1}{N}}\right)\left(a^{\br{i-1}{N}}\right)
[/mm]
Es gilt
[mm] \summe_{i=1}^{N}ln\left(a^{\br{i-1}{N}}\right)\left(a^{\br{i-1}{N}}\right)=ln(a)*\br{Na^{\br{N+1}{N}}-Na-a^{\br{N+1}{N}}+a^{\br{1}{N}}}{N\left(a^{\br{1}{N}}-1\right)^2}
[/mm]
also durch einsetzen, ausklammern, ausrechnen und verwenden von
[mm] \left(a^{\br{1}{N}}-1\right)^2=a^{\br{2}{N}}-2a^{\br{1}{N}}+1
[/mm]
folgt
[mm] U=a*ln(a)+ln(a)*(1-a)*\br{ a^{\br{1}{N}} }{ N*\left ( a^{\br{1}{N}}-1 \right ) }
[/mm]
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty}\br{ a^{ \br{1}{N} } }{ N*\left ( a^{\br{1}{N}}-1 \right ) }=\br{1}{ln(a)} [/mm] also gilt
[mm] U=a\cdot{ln(a)}+1-a, [/mm] so wie es sein sollte.
mfg ullim
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Di 06.03.2007 | | Autor: | barsch |
Vielen Dank euch.
Das hilft mir sehr weiter.
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