Integral mit cos^3(x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Integral von [mm] x^3 [/mm] * [mm] cos^3(x) [/mm] in den Grenzen von Pi/2 bis -Pi/2 |
Hallo,
ich komme mit der Aufgabe so gar nicht zurecht.
Das liegt zum einen daran, dass ich nicht weiß/erkennen kann, ob diese Funktion gerade oder ungerade ist (wobei ich schätze, dass sie gerade ist, denn wäre sie ungerade, wüde das Integral ja gleich Null sein). Der Faktor [mm] x^3 [/mm] ist m.M. nach ungerade!
Zum anderen liegt das generell an dem Problem, dass ich mit [mm] cos^3 [/mm] nichts anzufangen weiß!
Also, bitte um Erklärungen!
Grüße, Sam
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Hallo Sam_Nat,
> Bestimmen Sie das Integral von [mm]x^3[/mm] * [mm]cos^3(x)[/mm] in den
> Grenzen von Pi/2 bis -Pi/2
> Hallo,
>
> ich komme mit der Aufgabe so gar nicht zurecht.
>
> Das liegt zum einen daran, dass ich nicht weiß/erkennen
> kann, ob diese Funktion gerade oder ungerade ist (wobei ich
> schätze, dass sie gerade ist
Na, ich bin da nicht so sicher ... 
> , denn wäre sie ungerade,
> wüde das Integral ja gleich Null sein). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das wäre doch schön, dann müpsstest du nichtmal eine Stammfunktion errechnen ...
> Der Faktor [mm]x^3[/mm] ist
> m.M. nach ungerade!
Es ist doch [mm] $\cos(-x)=\cos(x)$ [/mm] gerade, also mit [mm] $f(x)=x^3\cdot{}\cos^3(x)=x^3\cdot{}\left[\cos(x)\right]^3$:
[/mm]
[mm] $f(-x)=(-x)^3\cdot{}\left[\cos(-x)\right]^3=-x^3\cdot{}\left[\cos(x)\right]^3=-f(x)$
[/mm]
Also ist der Integrand ungerade
>
> Zum anderen liegt das generell an dem Problem, dass ich mit
> [mm]cos^3[/mm] nichts anzufangen weiß!
Es ist [mm] $\cos^3(x)=\left[\cos(x)\right]^3$
[/mm]
Genauso wie man für [mm] $\left[\cos(x)\right]^2$ [/mm] "einfacher" schreibt [mm] $\cos^2(x)$
[/mm]
>
> Also, bitte um Erklärungen!
>
> Grüße, Sam
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Wenn der integrand ungerade ist, dann brauche ich das Integral also gar nicht zu berehcnen...?!
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Naja, du brauchst die Stammfunktion nicht zu berechnen, da hast du recht :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Jetzt wirklich?
Da wollte uns der Lehrer dann wohl reinlegen?!
Wow, das ist ja super!!!
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> Jetzt wirklich?
Wirklich.
> Da wollte uns der Lehrer dann wohl reinlegen?!
Nein.
Er wollte, daß Ihr ihm das Ergebnis sagt.
Die, die nicht blindlings losrechnen, sondern mal kurz nachdenken, sparen viel Arbeit.
Die anderen müssen halt rechnen.
> Wow, das ist ja super!!!
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo,
noch eine Nachfrage. Habe im Internet folgendes gefunden:
"Was passiert beim Verketten einer geraden Funktion f mit einer ungeraden Funktion g?"
Voraussetzung: f gerade, g ungerade, h= f o g .
Behauptung: h ist gerade (Beweis folgt)
(unter: http://www.mathemator.org/Media/Themen/GerFu.html)
Wenn also [mm] x^3 [/mm] ungerade und [mm] cos^3(x) [/mm] gerade, dann müsste mein Fkt. doch auch gerade sein!?
EDIT:
Okay, darunter steht "Was passiert beim Verketten einer ungeraden Funktion f mit einer ungeraden Funktion g?"
Voraussetzung: f ungerade, g ungerade, h = f o g .
Behauptung: h ist ungerade
Aber woher weiß ich, was ich hier mit was verkette? Ist mein f ungerade, weil das [mm] x^3 [/mm] vorne steht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> noch eine Nachfrage. Habe im Internet folgendes gefunden:
>
> "Was passiert beim Verketten einer geraden Funktion f mit
> einer ungeraden Funktion g?"
> Voraussetzung: f gerade, g ungerade, h= f o g .
> Behauptung: h ist gerade (Beweis folgt)
> (unter:
> http://www.mathemator.org/Media/Themen/GerFu.html)
>
> Wenn also [mm]x^3[/mm] ungerade und [mm]cos^3(x)[/mm] gerade, dann müsste
> mein Fkt. doch auch gerade sein!?
Mann, mann. Du hast doch oben die Funktion $ [mm] x^3 [/mm] * [mm] cos^3(x) [/mm] $. Das ist keine Verkettung von Funktionen , sondern ein Produkt !
FRED
>
> EDIT:
> Okay, darunter steht "Was passiert beim Verketten einer
> ungeraden Funktion f mit einer ungeraden Funktion g?"
> Voraussetzung: f ungerade, g ungerade, h = f o g .
> Behauptung: h ist ungerade
>
> Aber woher weiß ich, was ich hier mit was verkette? Ist
> mein f ungerade, weil das [mm]x^3[/mm] vorne steht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
| Aufgabe | | [mm] sin^2(x) [/mm] |
Ist dies auch eine ungerade Funktion?
Wenn ja, wie zeigt man das? Also, ich mein, ich kenne die Definitionen, aber... ich kann mit den Additionstheoremen nicht so recht umgehen. Kann man das umschreiben?
lg, sam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]sin^2(x)[/mm]
> Ist dies auch eine ungerade Funktion?
> Wenn ja, wie zeigt man das? Also, ich mein, ich kenne die
> Definitionen, aber... ich kann mit den Additionstheoremen
> nicht so recht umgehen. Kann man das umschreiben?
>
> lg, sam
Sei [mm]f(x):=sin^2(x)[/mm]. Wegen $sin(-x)= -sin(x)$ erhalten wir:
$f(-x) = [mm] (sin(-x))^2= (-sin(x))^2= (-1)^2sin^2(x) [/mm] = [mm] sin^2(x) [/mm] = f(x)$ für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Also ist die Funktion gerade und das Integral berechnet sich dann, indem ich quasi das Integrall von Grenze 1 bis Null ermittle und dann mit zwei multipliziere, richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also ist die Funktion gerade
Ja
> und das Integral berechnet
> sich dann, indem ich quasi das Integrall
Integral
> von Grenze 1 bis
> Null ermittle und dann mit zwei multipliziere, richtig?
Welche Integral genau sollst Du denn berechnen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Na das Integral [mm] sin^2(x)=(sin(x))^2.
[/mm]
Wobei ich eben verwirrt bin, weil ich dachte, der Kosinus sei gerade und der Sinus ungerade... ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Na das Integral [mm]sin^2(x)=(sin(x))^2.[/mm]
Mann, in welchen Grenzen ?????
>
> Wobei ich eben verwirrt bin, weil ich dachte, der Kosinus
> sei gerade und der Sinus ungerade... ?
Stimmt doch auch !
x [mm] \to sin^2(x)
[/mm]
ist aber gerade
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo!
> Mann, in welchen Grenzen ?????
Von - Pi/2 bis Pi/2.
> x [mm]\to sin^2(x)[/mm]
> ist aber gerade
Wieso?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> > Mann, in welchen Grenzen ?????
> Von - Pi/2 bis Pi/2.
Dann ist [mm] \integral_{-\pi /2}^{\pi/2}{sin^2(x)dx}= 2*\integral_{0 }^{\pi/2}{sin^2(x)dx}
[/mm]
>
> > x [mm]\to sin^2(x)[/mm]
> > ist aber gerade
>
> Wieso?
Willst Du mich verarschen ? Das hab ich Dir doch oben vorgerechnet :
$ f(-x) = [mm] (sin(-x))^2= (-sin(x))^2= (-1)^2sin^2(x) [/mm] = [mm] sin^2(x) [/mm] = f(x) $ für jedes x $ [mm] \in \IR. [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 23.06.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo!
>
> > Mann, in welchen Grenzen ?????
> Von - Pi/2 bis Pi/2.
>
> > x [mm]\to sin^2(x)[/mm]
> > ist aber gerade
>
> Wieso?
Na, weil
[mm] f(-x)=\sin^{2}(-x)=\left(\sin(-x)\right)^{2}=\left(-\sin(x)\right)^{2}=(-\sin(x))(-\sin(x))=(-1)*\sin(x)*(-1)*\sin(x)=(-1)^{2}*\left(\sin(x)\right)^{2}=\left(\sin(x)\right)^{2}=\sin^{2}(x)=f(x) [/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
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> > Hallo!
> >
> > > Mann, in welchen Grenzen ?????
> > Von - Pi/2 bis Pi/2.
> >
> > > x [mm]\to sin^2(x)[/mm]
> > > ist aber gerade
> >
> > Wieso?
>
> Na, weil
>
> [mm]f(-x)=\sin^{2}(-x)=\left(\sin(-x)\right)^{2}=\left(-\sin(x)\right)^{2}=(-\sin(x))(-\sin(x))=(-1)*\sin(x)*(-1)*\sin(x)=(-1)^{2}*\left(\sin(x)\right)^{2}=\left(\sin(x)\right)^{2}=\sin^{2}(x)=f(x)[/mm]
>
Das hatte ich unserem Sam schon hier
https://matheraum.de/read?i=695308
mitgeteilt.
FRED
> Marius
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