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| Aufgabe | Sei [mm] \gamma:\IR\to\IR [/mm] eine in ganz [mm] \IR [/mm] stetige Funktion, für die gilt: [mm] \gamma(x)\ge0 [/mm] für jedes [mm] x\in\IR, \gamma(x)=0 [/mm] für jedes [mm] x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty), \integral_{-1}^{1}{\gamma(x) dx}=1.
[/mm]
Beweisen Sie, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n\integral_{-1}^{1}{f(x)\gamma(nx) dx)}=f(0) [/mm] für jedes [mm] f:[-1,1]\to\IR [/mm] , welches stetig in ganz [-1,1] ist.
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Hallo, ich habe mir zu dieser Aufgabe ein paar Dinge überlegt und bin an folgender Frage hängen geblieben, was ist:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\gamma(nx) dx}
[/mm]
Ich habe mir hier zwei (leider unterschiedliche) Lösungen überlegt:
1.
Da [mm] \integral_{-1}^{1}{\gamma(x) dx}=1 [/mm] ist, ist diese Integralfunktion sozusagen konstant und hängt somit nicht von x ab. Somit könnte man einfach nx anstatt x einsetzten und bekäme auch für [mm] \integral_{-1}^{1}{\gamma(nx) dx}=1
[/mm]
2.
[mm] \integral_{-1}^{1}{\gamma(nx) dx}=\integral_{-1}^{1}{\gamma(nx)\*n\*\bruch{1}{n} dx}=\bruch{1}{n}\*\integral_{-1}^{1}{\gamma(nx)\*n dx}
[/mm]
Nach der Substitutionsregel
[mm] =\bruch{1}{n}\*\integral_{\gamma(-1)}^{\gamma(1)}{\gamma(x) dx} [/mm]
Nach Aufgabenstellung
[mm] =\bruch{1}{n}\*\integral_{0}^{0}{\gamma(x) dx} [/mm]
Nach Aufgabenstellung
[mm] =\bruch{1}{n}\*0 [/mm] =0
Es wäre nett, wenn mir jemand zeigen könnte, in welcher Variante (evt. auch in beiden mein Fehler liegt...)
Vielen Dank im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Di 15.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> 1.
> Da [mm]\integral_{-1}^{1}{\gamma(x) dx}=1[/mm] ist, ist diese
> Integralfunktion sozusagen konstant und hängt somit nicht
> von x ab. Somit könnte man einfach nx anstatt x einsetzten
> und bekäme auch für [mm]\integral_{-1}^{1}{\gamma(nx) dx}=1[/mm]
Nein, das ist falsch - setze hier einfach die Substitutionsformel ein und du siehst, das es im Allgemeinen nicht aufgeht.
> 2.
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\gamma(nx) dx}=\integral_{-1}^{1}{\gamma(nx)\*n\*\bruch{1}{n} dx}=\bruch{1}{n}\*\integral_{-1}^{1}{\gamma(nx)\*n dx}[/mm]
>
> Nach der Substitutionsregel
>
> [mm]=\bruch{1}{n}\*\integral_{\gamma(-1)}^{\gamma(1)}{\gamma(x) dx}[/mm]
Also die Grenzen sind falsch - wie kommst du darauf? Man erhält doch n und -n als die Grenzen!
Zu der Aufgabe noch: substituiere wie gerade eben, dann bleibt [m]\int_{-n}^{n} f(x/n)\gamma(x) \mbox{d}x[/m] übrig. Jetzt musst dir überlgen, warum du nun einfach als Grenzen -1 und 1 nehmen kannst. Und weitere warum man jetzt Integral und limes vertauschen kann. Dann brauchst du Stetigkeit von f in 0 - und es steht schon da.
Frage an dich (Achtung, subtil!): wo geht ein, dass die Funktionen auf dem Intervall stetig sind?
SEcki
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Vielen Dank an Secki.
(auch wenn du viel mehr beantwortet hast, als ich wissen wollte ;) )
> Frage an dich (Achtung, subtil!): wo geht ein, dass die
> Funktionen auf dem Intervall stetig sind?
Zum einen gilt die Substitutionsregel nur für stetige Funktionen und auch anschaulich würde es wenig Sinn machen, wenn z.B. die Funktion f(x) im Nullpunkt einen komplett anders und beliebig definierten Funktionswert hätte. Dann wäre von vorne herein klar, dass die zu beweisende Ausssage nur durch Zufall stimmen kann. Hätte man f(0) anders definiert hätte die Aussage dann nämlich nicht gestimmt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mi 16.04.2008 | | Autor: | n8-11e |
Hallo,
wo ist denn jetzt dein f(x) hin? das spielt doch auch ne Rolle oder? und wie kommt man dann darauf, dass der Grenzwert des ganzen = f(0) ist? es ist doch nur gesagt, dass f stetig ist, oder hab ich jetzt irgendwas grundlegendes übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mi 16.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> wo ist denn jetzt dein f(x) hin? das spielt doch auch ne
> Rolle oder?
Häh?
> und wie kommt man dann darauf, dass der
> Grenzwert des ganzen = f(0) ist?
Satz von der majorisierten Konvergenz. Ähnlich wie bei Faltung mit Dirichlet-Kernen.
> es ist doch nur gesagt,
> dass f stetig ist, oder hab ich jetzt irgendwas
> grundlegendes übersehen?
Ja - und? Worauf willst du hinaus?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mi 16.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Zum einen gilt die Substitutionsregel nur für stetige
> Funktionen
Genau!
> und auch anschaulich würde es wenig Sinn machen,
> wenn z.B. die Funktion f(x) im Nullpunkt einen komplett
> anders und beliebig definierten Funktionswert hätte. Dann
> wäre von vorne herein klar, dass die zu beweisende Ausssage
> nur durch Zufall stimmen kann. Hätte man f(0) anders
> definiert hätte die Aussage dann nämlich nicht gestimmt.
Nun gut, dafür würde stetig in 0 reichen ;)
SEcki
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> Nun gut, dafür würde stetig in 0 reichen ;)
Das ist natürlich richtig! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Mi 16.04.2008 | | Autor: | dormant |
Hallo SEcki!
> > 1.
> > Da [mm]\integral_{-1}^{1}{\gamma(x) dx}=1[/mm] ist, ist diese
> > Integralfunktion sozusagen konstant und hängt somit nicht
> > von x ab. Somit könnte man einfach nx anstatt x einsetzten
> > und bekäme auch für [mm]\integral_{-1}^{1}{\gamma(nx) dx}=1[/mm]
>
> Nein, das ist falsch - setze hier einfach die
> Substitutionsformel ein und du siehst, das es im
> Allgemeinen nicht aufgeht.
Im Allgemeinen nicht, aber für ein stetiges [mm] \gamma=0 [/mm] für [mm] x\not\in [/mm] [-1;1] (wie die Aufgabenstellung ist) ist das schon richtig, oder?
[mm] \integral_{-1}^{1}{\gamma(nx) dx}=\integral_{-n}^{-1}{\gamma(t) dt}+\integral_{-1}^{1}{\gamma(t) dt}+\integral_{1}^{n}{\gamma(t) dt}=0+\integral_{-1}^{1}{\gamma(x) dx}+0.
[/mm]
Oder habe ich etwas fundamentales übersehen?
Grüsse,
dormant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:05 Mi 16.04.2008 | | Autor: | n8-11e |
Hallo dormant,
Kannst d oder jmd anderes mir erklären wie ihr das Integral auseinander zieht um dann nur [mm] \gamma(nx) [/mm] zu betrachten? oder was macht ihr da,und wie schließt ihr dann? das reicht doch nicht als Beweis. wäre dankbar für Antworten und Anregungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Mi 16.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Kannst d oder jmd anderes mir erklären wie ihr das
> Integral auseinander zieht um dann nur [mm]\gamma(nx)[/mm] zu
> betrachten?
Wie meinst du das? In obiger Mittleiung ist nunmal auch ein Fehler - irritiert das?
> oder was macht ihr da,und wie schließt ihr
> dann?
Was genau? Wer macht was wo?
> das reicht doch nicht als Beweis. wäre dankbar für
> Antworten und Anregungen.
Was reicht nicht? Bitte sag die Stelle, dann kann man (zB du!) das auch ausführen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Mi 16.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\gamma(nx) dx}=\integral_{-n}^{-1}{\gamma(t) dt}+\integral_{-1}^{1}{\gamma(t) dt}+\integral_{1}^{n}{\gamma(t) dt}=0+\integral_{-1}^{1}{\gamma(x) dx}+0.[/mm]
>
> Oder habe ich etwas fundamentales übersehen?
Ja, dir ist ein Faktor [m]\bruch{1}{n}[/m] verloren gegangen. Das ist auch logisch - wenn man sich das mit Rechtecken approximeirt denkt, wird aus etwas was im einem von 0 bis 1 geht, bloß noch von 0 bis [m]\bruch{1}{n}[/m].
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Kreide |
ich verstehe nicht was hier wie substituiert worden ist.... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 16.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> ich verstehe nicht was hier wie substituiert worden ist....
[m]\int_a^b f(c*x)=\bruch{1}{c}\int_{c*a}^{c*b}f(x)[/m]
SEcki
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