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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Do 11.01.2007 | | Autor: | MonaMoe |
| Aufgabe | Es gilt: [mm] \integral_{1}^{a}{f(x) dx} [/mm] = [mm] a^{3} [/mm] +a -4
Bestimmen Sie
[mm] \integral_{1}^{a}{f(x) dx} [/mm] f(t) dt
[mm] \integral_{1}^{a}{f(t) dt}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{a}{f(-x) dx} [/mm] Sowie
[mm] \integral_{1}^{4}{f(x) dx} [/mm] |
Hallo,
das ist eine Aufgabe meiner Hausaufgabe, aber wie unser Lehrer uns nichts dazu gesagt hat, so sitze ich schon eine Weile dran und hab keine Ahnung! Wir haben bis her bloß die Intrgrale bestimmt und sonst nix. Wie soll ich anfangen? In dem was gegeben ist; [mm] \integral_{1}^{a}{f(x) dx} [/mm] f(x) dx = [mm] a^{3} [/mm] +a -4 ist ja gar kein x. Soll ich überhaupt die Stammfunktion daraus machen? Oder muss man wie beim Integralbestimmen nur den Rechenweg rückwerts gehen? Ach ich weiß es nicht! Bitte helft mir! Ich muss nur wissen wie ich vorgehen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Do 11.01.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Oh, das ft dt gehört in der Aufgabenstellung nicht mehr dazu.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Do 11.01.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Also ich hab wieder eine Idee: Bei der Aufgabe: [mm] \integral_{1}^{a}{f(-x) dx}: [/mm] Muss man das vielleicht so umformen:
[mm] \integral_{1}^{a}{f(-x) dx}= -(a^{3}+a-4) [/mm] und dann rechne ich a aus? Aber das bringt mich doch gar nicht weiter, oder? ich glaub schon, das man die Funktionen mit einander verknüpfen muss, oder? Ich weiß nicht weiter!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Do 11.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also die oberste Zeile, gibt dir einfach an, wie das Integral gelöst wird. Du siehst, wie die Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen zusammenhängt. Nun musst du einfach die anderen Integrale entsprechend den verschiedenen Integrationsgrenzen anpassen.
Ob die Funktion von einem x oder von einem t abhängt ist doch in diesem Fall egal.
Also die erste Aufgabe steht ja schon da, denn das ist doch die Voraussetzung.
Die zweite Aufgabe ist ebenfalls identisch mit der ersten, denn für das x setzt man ja in der Stammfunktion dann die Integrationsgrenzen ein, also ob du dann für x das a einsetzt oder für t das a einsetzt ist egal, es kommt bei beiden Aufgaben das Gleiche heraus.
Bei der dritten Aufgabe hattest du glaube ich schon in deiner Mitteilung die richtige Antwort gegeben. Du musst nun das Minuszeichen mitnehmen, also wird daraus dann: [mm] -a^{3}-a-4
[/mm]
In der letzten Aufgabe dann, hast du zwei Zahlen als Integrationsgrenzen gegeben. Nun setzt du einfach für die vorher Unbekannte a die 4 ein, der Rest bleibt gleich.
Dein Term der dir ja gegeben ist in der Angabe, gibt dir ja bereits die Stammfunktion mit eingesetzten Integrationsgrenzen ein, deswegen muss man hier auch nicht mehr machen.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Do 11.01.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Hallo, danke für die Antwort! Also ist meine Lösung zur 3.Aufgabe richtig? Ist die Lösung dann einfach nur:
f(-x)dx = [mm] a^{3} [/mm] +a -4 ? Wenn das stimmt, dann versuch ich gleich die nächsten auch und schreib sie dir kurz auf und du guckst, obs richtig ist?
Danke
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Also, so ganz einfach ist das nicht.
Mache dir mal folgendes klar: f(-x) ist die Spiegelung von f(x) an der y-Achse.
Statt die Spiegelung von 1 bis a zu integrieren, kannst du auch die Funktion selbst von -a bis -1 integrieren.
Verstehst du nicht? Dann mach folgendes: Zeichne eine Kurve in ein Koordinatensystem, und zwei senkrechte Graden, eine bei x=1, und eine für ein etwas größeres x. Schraffiere die Fläche zwischen x-Achse, Graden und Kurve. Diese Fläche wäre also das Integral. Jetzt halte das Blatt mit der Rückseite zu dir gegen das Licht, sodaß das ganze durchscheint. Was siehst du? Die Funktion ist jetzt gespiegelt, und aus den positiven Grenzen sind negative geworden, die sich zudem noch vertauscht haben. Also:
[mm] $\integral_1^a f(-x)dx=\integral_{-a}^{-1} [/mm] f(x)dx$
Das kann man jetzt so schreiben:
[mm] $\integral_{-a}^{-1} [/mm] f(x)dx= [mm] \integral_{-a}^{+1} [/mm] f(x)dx - [mm] \integral_{-1}^{+1} [/mm] f(x)dx$
Mach dir das klar: Fläche von -a bis +1, und dann das Stück von -1 bis +1 wieder abziehen. Das Problem ist ja, daß du mit der gegebenen Funktion ausschließlich Flächen /Integrale berechnen kannst, die bei x=1 ihre untere Grenze haben.
Jetzt gibt es noch einen Trick: Das Vertauschen der Grenzen kehrt das Vorzeichen um. Es gilt also:
[mm] $\integral_{-a}^{+1} [/mm] f(x)dx - [mm] \integral_{-1}^{+1} f(x)dx=-\integral_{+1}^{-a} [/mm] f(x)dx + [mm] \integral_{+1}^{-1} [/mm] f(x)dx$
Jetzt endlich kannst du deine gegebene Formel anwenden!
[mm] $\integral_{+1}^{-a} f(x)dx=(-a)^3+(-a)-4=-a^3-a-4$
[/mm]
[mm] $\integral_{+1}^{-1} f(x)dx=(+1)^3+(+1)-4=-2$
[/mm]
Jetzt setzen wir das wieder zusammen:
[mm] $-(-a^3-a-4)+(-2)=a^3+a+4-2=a^3+a+2$
[/mm]
Das ist das Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Do 11.01.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Vielen Dank! Ich versuch es auch noch mit den anderen Aufgaben. Bei der 2ten Aufgabe, hab ich ein Fehler beim abschreiben gemacht, da ist 1 die obere und a die untere Grenze. Nur wie mach ich das mit der letzten Aufgabe? Da ist doch eine 4 die obere und die 1 eine untere Grenze. Muss man die jetzt irgendwo einsetzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Fr 12.01.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Also, ich hab mir für die 4te Aufgabe auch so eine skizze mit beliebigen einer Kurve und den senkrechten Geraden erstellt.Die eine Grenze bei x=1 und bei x=4. Mein Integral befindet sich darin. Die Grenzen von der gegebenen Funktion kann man aber nicht ganz eintragen.Also die eine Grenze bei x=1 und a? Ich weiß doch nicht ob a größer ist als 4? Was muss jetzt von was abgezogen werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
In der 4. Aufgabe hat a einfach den speziellen Wert 4 a=4 also einfach für a 4 einsetzen!
Wenn die Grenzen vertauscht werden, dreht das Integral einfach sein Vorzeichen um.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Sa 13.01.2007 | | Autor: | MonaMoe |
Hallo,
dankeschön für die Antworten, doch heute, als uns unser Lehrer die Lösungen zu den Aufgaben gegeben hat, meinte er, dass die Aufgabe mit f(-x) falsch im Buch stehen würde! Das Minus sollte vor das ganze: [mm] -\integral_{1}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
Hat er recht?
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:56 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(-x) ist nur f(x) an der y-Achse gespiegelt, wenn f(x) symetrisch ist, (also ne gerade Funktion.)
Da das Integral ne ungerade fkt ist, ist das hier der Fall. d.h.aber , dass f(-x)=f(x) und deshalb hat das Integral denselben Wert wie das von f(x)
(das f(x)hier ist [mm] f(x)=3x^2+\bruch{a-3}{a-1})
[/mm]
Gruss leduart
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