Integral rekursiv < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
| Aufgabe | Rekursionsformel berechnen für:
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{(tan(x))^{n} dx} [/mm] |
ich habe mir jetzt überlegt, tan = sin/cos
und die rekursionsformeln für sin und cos kenne ich. darf ich dann einfach schreiben tan= rekursionformel sin/ rekursionsformel cos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Rekursionsformel berechnen für:
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{(tan(x))^{n} dx}[/mm]
> ich habe mir jetzt
> überlegt, tan = sin/cos
> und die rekursionsformeln für sin und cos kenne ich. darf
> ich dann einfach schreiben tan= rekursionformel sin/
> rekursionsformel cos
Nein, aber der Ansatz mit Sinus und Cosinus ist nicht schlecht.
Der Trick bei diesen Integralen ist immer, den Integranden als Produkt zweier Funktionen zu schreiben und partiell zu integrieren. Hier haben wir
[mm]\integral_{0}^{\pi/2}{(tan(x))^{n} dx} = \integral_{0}^{\pi/2}\bruch{\sin^n x}{\cos^n x} dx[/mm] .
Das Problem stellt der Cosinus im Nenner dar. Jetzt überleg mal, wann man einen Bruch durch Substitution gut integrieren kann. Das geht dann sehr gut, wenn der Zähler etwas mit der Ableitung des Nenners zu tun hat.
Die Ableitung des Cosinus ist (bis aufs Vorzeichen) der Sinus, und der steht hier im Zähler. Also schaun wir doch mal: die Ableitung von
[mm]\bruch{1}{\cos^n x} [/mm]
ist
[mm] -n\bruch{-\sin x}{\cos^{n+1} x} = n \bruch{\sin x}{\cos^{n+1} x}[/mm].
Oder anders ausgedrückt: das Integral von
[mm] \bruch{\sin x}{\cos^{n} x} [/mm]
ist
(KORREKTUR!)
[mm] \bruch{1}{n-1}\bruch{1}{\cos^{n-1} x} [/mm] .
So, und jetzt zerlege [mm] \bruch{\sin^n x}{\cos^n x} [/mm] geschickt und integriere partiell!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
ich stehe hier gerade auf dem schlauch. ich habe versucht geschickt zu zerlegen, aber es kommt nix raus. kann ich bitte nochmal einen tipp haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich stehe hier gerade auf dem schlauch. ich habe versucht
> geschickt zu zerlegen, aber es kommt nix raus. kann ich
> bitte nochmal einen tipp haben?
Also du willst den Term [mm] $\bruch{\sin x}{\cos^n x}$ [/mm] haben:
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{(tan(x))^{n} dx} = \integral_{0}^{\pi/2}\bruch{\sin^n x}{\cos^n x} dx [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{\pi/2} \bruch{\sin x}{\cos^n x} * \sin^{n-1} x\, dx [/mm] .
Und jetzt integrierst du partiell: [mm] $\sin^{n-1} [/mm] x$ ableiten, [mm] $\bruch{\sin x}{\cos^n x}$ [/mm] integrieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
vielen vielen dank für die hilfe:)
eine frage habe ich noch: einmal oder zweimal partiell integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> vielen vielen dank für die hilfe:)
>
> eine frage habe ich noch: einmal oder zweimal partiell
> integrieren?
Einmal reicht, und dann wieder Sinus und Cosinus zu Tangens zusammenfassen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
ich hab jetzt nochmal nachgerechnet, aber wie komme ich darauf dass [mm] \integral_{}^{}{\bruch{sinx}{cos^{n}x}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{cos^{n}x}
[/mm]
diesen schritt verstehe ich nicht:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich hab jetzt nochmal nachgerechnet, aber wie komme ich
> darauf dass [mm]\integral_{}^{}{\bruch{sinx}{cos^{n}x}dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{cos^{n}x}[/mm]
Sorry, Schreibfehler:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{sinx}{cos^{n}x}dx}=\bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{cos^{n-1}x}[/mm]
Das müsstest du aber anhand der Ableitung von [mm] $\bruch{1}{cos^{n}x}$ [/mm] etwas weiter oben sehen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:35 So 06.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
ich habe jetzt alle tipps berücksichtigt und noch einmal von vorne gerechnet, dann steht bei mir nach einmaligem partiellem ableiten:
[mm] \bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{cos^{n-1}x}*sin^{n-1}x-\integral_{}^{}{\bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{{cos^{n-1}x}}*(n-1)*sin^{n-2}x}*cosx
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{cos^{n-1}x}*sin^{n-1}x-\integral_{}^{}{cos^{-n+2}x}*sin^{n-2}x
[/mm]
ist dass dann schon die rekursionsformel, oder muss ich noch weiterrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 06.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich habe jetzt alle tipps berücksichtigt und noch einmal
> von vorne gerechnet, dann steht bei mir nach einmaligem
> partiellem ableiten:
Du meinst sicherlich integrieren!
>
> [mm]\bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{cos^{n-1}x}*sin^{n-1}x-\integral_{}^{}{\bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{{cos^{n-1}x}}*(n-1)*sin^{n-2}x}*cosx[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{n-1}*\bruch{1}{cos^{n-1}x}*sin^{n-1}x-\integral_{}^{}{cos^{-n+2}x}*sin^{n-2}x[/mm]
>
> ist dass dann schon die rekursionsformel, oder muss ich
> noch weiterrechnen?
Ich hab's nicht nachgerecht (daher lasse ich die Frage mal als nicht vollständig beantwortet stehen), aber man sieht jedenfalls, dass man noch
[mm] $${cos^{-n+2}x}*sin^{n-2}=\frac{\sin^{n-2}x}{\cos^{-(-n+2)}x}=\frac{\sin^{n-2}x}{\cos^{n-2}x}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-2}=\tan^{n-2}x$$
[/mm]
umschreiben kann.
Analog:
[mm] $$\frac{1}{\cos^{n-1}x}*\sin^{n-1}x=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{n-1}=\tan^{n-1}x\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 So 06.06.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
warum macht ihr es euch so schwer, wenn ich mich recht erinnere ist eine Herlitung mittel [mm] tan^2(x)=sec^2(x)-1 [/mm] ein ganzes stück kürzer
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 So 06.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo MontBlanc,
ich schrieb gestern schon irgendwo, dass Sekans und Cosekans nicht in Deutschland wohnen, sonder in England beheimatet sind...
Ehrlich, das benutzt hier kein Mensch. Außerdem kommt man doch mit sin, cos und tan gut hin, die andern drei Winkelfunktionen sind doch nur Kehrwerte davon. Insofern finde ich den vorgeschlagenen Weg nicht wirklich länger, zumal wenn man sich alle Lemmata zum Sekans sowieso erst herleiten muss.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 06.06.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
das war mir nicht bewusst, dass das in Deutschland mehr oder minder ignoriert wird.
Ich habe es eben gerade auch ncht durchgerechnet, meinte mich nur erinnern zu können, dass es etwas kürzer war :)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 So 06.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
Vielen Dank für die vielen Tipps, ich hab die Aufgabe jetzt voll verstanden:)
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Hallo ich habe nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe.
wie kann man rechnerisch zeigen, dass das Integral von
[mm] \bruch{\sin x}{\cos^{n} x}
[/mm]
==> [mm] \bruch{1}{n-1}\bruch{1}{\cos^{n-1} x}
[/mm]
Ich habe jetzt rumgerechnet, aber komme nicht auf die Lösung.
Hoffe ihr könnt mich helfen :) Schonmal danke im Voraus.
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> Hallo ich habe nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> wie kann man rechnerisch zeigen, dass das Integral von
> [mm]\bruch{\sin x}{\cos^{n} x}[/mm]
>
>
>
> ==> [mm]\bruch{1}{n-1}\bruch{1}{\cos^{n-1} x}[/mm]
>
>
> Ich habe jetzt rumgerechnet, aber komme nicht auf die
> Lösung.
hallo,
hier musst du partiell integrieren.
setze [mm] v=cos(x)^{-n} [/mm] und u'=sin(x)
wenn du richtig rechnest, hast du auf der linken und rechten seite das gleiche integral stehen (dass sich nur um einen faktor unterscheidet, also rüberbringen, ausklammern, und du bist fertig)
>
> Hoffe ihr könnt mich helfen :) Schonmal danke im Voraus.
gruß tee
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ah stimmt. super danke :)
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