Integral totalen Differentials < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Integrieren Sie [mm] $dz=(2x-y^2+3)dx-(2xy)dy [/mm] von (1,1) nach (3,1) und dann nach (3,5). Zum Vergleich ist von (1,1) über (1,5) nach (3,5) zu integrieren. |
SO diese Aufgabe ist die erste dieser Art, die ich überhaupt mit mehreren Variablen rechne und leider ist die Vorlesung physikalische Chemie 0 auf soetwas eingegangen. In der heutigen Übungsstunde haben wir folgendes gerechnet und festgehalten:
1. Es handelt sich bei dz um ein totales Differential, was man durch Integration oder partielle Ableitung zeigen kann:
[mm] $\integral{(2x-y^2+3)dx}=x^2-y^2x+3x$
[/mm]
Wenn man dies ableitet nach y, also [mm] $\bruch{\partial Z}{\partial y}$, [/mm] dann erhält man eben jenen zweiten Teil von dz, also -2xy
Alternativ kann man dz auch partiell ableiten und zeigen, dass beides Mal das Gleiche herauskommt.
Demnach ist zu erwarten, dass bei der Integration auf verschiedenen Wegen das selbe Ergebnis herauskommt. Soviel ist klar. Ich habe jetzt aber Probleme beim Berechnen von diesem Integral, da es kein Doppelintegral ist, aber 4 Grenzen enthält.
In der Übung hat der Leiter nun folgendes gesagt:
Beim Betrachten der ersten Änderung
[mm] $\integral_{x=1;y=1}^{x=3;y=1}{dz}=\integral_{x=1;y=1}^{x=3;y=1}{(2x-y^2+3)dx-(2xy)dy}$ [/mm] (ich weiß nicht mal welches Zeichen ich jetzt hinter das Integral machen muss, nochmal dx,dz?
findet keine Änderung von y statt. Da ein Integral mit der selben Ober- und Untergrenze immer 0 ergibt, kann das Integral folgendermaßen vereinfacht werden:
[mm] $\integral_{x=1;y=1}^{x=3;y=1}{dz}=\integral_{x=1;y=1}^{x=3;y=1}{(2x-y^2+3)dx-0}$
[/mm]
Nun ist es natürlich einfach, weil ich nur noch dx habe, nach x integrieren kann und dann einsetzte. Rechnerisch einfach, verständnismäßig aber für mich absolut nicht schlüssig. Mein Problem ist nämlich, wieso ich dennoch y einsetzte, obwohl für das weggefallene Teilintegral x keine Rolle spielte.
Also wir haben folgendermaßen weitergerechnet:
[mm] $\integral_{x=1;y=1}^{x=3;y=1}{(2x-y^2+3)dx-0}=[x^2-y^2x+3x]_{x=1;y=1}^{x=3;y=1}=(3^2-1*3+3*1)-(1^2-1*1+3)=12$
[/mm]
Nun noch das zweite Integral:
[mm] $\integral_{x=3;y=1}^{x=3;y=5}{dz}=\integral_{x=3;y=1}^{x=3;y=5}{(2x-y^2+3)dx-(2xy)dy}$
[/mm]
Selbe Spielchen, keine Änderung von dx bzw in dx, demnach auch kein Teilintegral mit dx und das führt zu:
[mm] $\integral_{x=3;y=1}^{x=3;y=5}{(2x-y^2+3)dx-(2xy)dy}=\integral_{x=3;y=1}^{x=3;y=5}{(0-(2xy)dy}=[-xy^2]_{x=3;y=1}^{x=3;y=5}=(-3*5^2-(-3*1^2)=-72$
[/mm]
Somit ergibt sich insgesamt:
[mm] $\integral_{x=1;y=1}^{x=3;y=5}{(2x-y^2+3)dx-(2xy)dy}=-60$
[/mm]
Leider finde ich diese Art der Rechnung niergendwo erklärt bzw weiß nicht, wozu es gehört. Ist es in Wirklichkeit ein Doppelintegral oder was? Das Problem ist für mich ganz klar das dx und dy. Ein Normales Doppelintegral könnte ich ja erst innen integrieren nach y und außen nach x, dazu müsste aber die Form f(x)dxdy sein, ich habe jedoch eine Summe aus dx+dy. Meine Frage ist also, gibt es hierzu eine anschauliche, bessere Erklärung als die Version der heutigen Übung oder ist dies der richtige Weg, ein Teilintegral einfach 0 zu setzten.
Denn ich wollte eigentlich eine Möglichkeit finden, das Integral direkt zu berechnen, also ohne Umweg über ein Zwischenintegral. Das scheint jedoch nicht möglich. Auf der anderen Seite, wieso fällt beim ersten Teilintegral, wo sich y nicht ändert, der Term mit ()dy weg, gleichzeitig bleibt aber bei ()dx das y wichtig und wird in die Stammfunktion eingesetzt mit y=1 als Konstante
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Do 15.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
> Leider finde ich diese Art der Rechnung niergendwo erklärt
> bzw weiß nicht, wozu es gehört. Ist es in Wirklichkeit
> ein Doppelintegral oder was? Das Problem ist für mich ganz
> klar das dx und dy. Ein Normales Doppelintegral könnte ich
> ja erst innen integrieren nach y und außen nach x, dazu
> müsste aber die Form f(x)dxdy sein, ich habe jedoch eine
> Summe aus dx+dy. Meine Frage ist also, gibt es hierzu eine
> anschauliche, bessere Erklärung als die Version der
> heutigen Übung oder ist dies der richtige Weg, ein
> Teilintegral einfach 0 zu setzten.
Du hast es doch gerade in der Übung erklärt gekriegt.
Ein Doppelintegral ist es nicht - denn wie schon richtig gesehen hast müsste es ja dafür von der Form f(x,y)dxdy sein.
Zu der Erklärung: In der Aufgabe soll man über eine Kurve integrieren (nämlich der Weg von (1,1) nach (3,5) mit Umweg über (3,1)), d.h. man soll über etwas ein-dimensionales integrieren. Deswegen stehen da die dx, bzw. dy, "alleine" da und nicht multipliziert (also dxdy).
Denn dxdy würde bedeuten, das man über etwas zweidimensionales integriert (also über eine Fläche) - tut man hier aber nicht.
> Denn ich wollte eigentlich eine Möglichkeit finden, das
> Integral direkt zu berechnen, also ohne Umweg über ein
> Zwischenintegral. Das scheint jedoch nicht möglich. Auf
Wird auch nicht möglich sein, denn der Weg über den du integrierst ist ja auch "zwei-teilig" (nämlich einmal von (1,1) nach (3,1) und dann von (3,1) nach (3,5)).
> der anderen Seite, wieso fällt beim ersten Teilintegral,
> wo sich y nicht ändert, der Term mit ()dy weg,
> gleichzeitig bleibt aber bei ()dx das y wichtig und wird in
> die Stammfunktion eingesetzt mit y=1 als Konstante
Ja... das ist eben so. Da dy spielt nur dann eine Rolle, wenn sich das y ändert. Aber wenn man über dx integriert, so muss man natürlich trotzdem das y dort berücksichtigen, denn sonst wäre es ja egal, ob du z.B. von (1,1) nach (3,1) oder von (1,7) nach (3,7) integrierst - was es aber natürlich nicht ist, denn du -musst- ja eben das y berücksichtigen.
Ich hoffe das reicht dir als Begründung. Es gibt natürlich auch noch eine wesentlich handfestere Begründung dafür (Stichwort: Differentialformenkalkül), aber das ist für nicht-Mathematiker eigentlich erstmal kaum zu verstehen.
LG, Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Do 15.04.2010 | | Autor: | Adamantin |
Danke für die Antwort.
Ich wollte hauptsächlich eine Bestätigung dafür, dass der Weg a korrekt und b mathematisch korrekt ist. Also nicht einen Chemiker-Trick, obwohl insgeheim auch das Gesamtintegral zu berechnen gewesen wäre usw.
Aber wenn du mir bestätigst, dass man das so macht und es etwas eindimensionales ist, was ich bisher gar nicht beachtet bzw berücksichtigt habe, dann bin ich mal damit zufrieden, zu rechnen ist es ja so ganz angenehm ;)
|
|
|
|
