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Integral über Gammadichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Do 26.10.2006
Autor: HomerJ

Aufgabe
Sei f(x)\,=\,\begin{cases} \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, & \mbox{wenn }x\mbox{ > 0} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ < 0} \end{cases},
wobei \Gamma(\alpha)= \int_{0}^{\infty} \mathrm{t}^{\alpha-1}e^{-t}\, \mathrm{d}t die Gammafunktion ist.
Zeigen Sie, dass \int_{0}^{\infty} \mathrm{f(x)}\, \mathrm{d}x\,=\,1

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Zwar handelt es sich um eine Zufallsvariable (-> eigentlich Stochastik-Forum), aber das Problem ist bei mir,
das Integral zu berechnen, und das ist eher ein analytisches Problem.

1) zunächst habe ich noch gecheckt, dass man schreiben kann
\int_{0}^{\infty} \mathrm{f(x)}\, \mathrm{d}x\ = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\,\int_{0}^{\infty} \mathrm{x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}}\, \mathrm{d}x,
weil ja \lambda^\alpha und die Gammafunktion Konstanten sind (das x, über das man integriert, ist nicht enthalten)
2) Habe ich noch mit Mathematica rausgefunden, dass die
Stammfunktion von \int_{0}^{\infty} \mathrm{x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}}\, \mathrm{d}x lautet: \frac{e^{-\lambda\,x}\,x^\alpha}{\alpha}.
Dann müsste die Stammfunktion der Gammafunktion sein: \frac{e^{-t}\,t^\alpha}{\alpha}
3) Das Problem ist jetzt, wenn ich ansetze
\lim_{n \to \infty}\,\int_{0}^{n} \mathrm{x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}}\, \mathrm{d}x=
\lim_{n \to \infty}\,\left( \frac{e^{-\lambda\,n}\,n^\alpha}{\alpha}-\frac{e^{-\lambda\,0}\,0^\alpha}{\alpha} \right), dass im Grenzwert 0 rauskommt.
-> Es handelt sich aber um die Dichte einer Gammaverteilung,
ich weiss, dass 1 rauskommen muss. Wo ist der Fehler?

Würde micht über Antworten echt freuen :-)

        
Bezug
Integral über Gammadichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Do 26.10.2006
Autor: Leopold_Gast

Was du da mit Mathematica herausgefunden hast, weiß ich nicht. Aber stimmen kann es auf gar keinen Fall. Substituiere im Integral

[mm]\int_0^{\infty}~x^{\alpha - 1} \operatorname{e}^{- \lambda x}~\mathrm{d}x[/mm]

für [mm]\lambda x = t[/mm], also [mm]x = \frac{1}{\lambda} \, t \, , \ \ \mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda} \, \mathrm{d}t[/mm].

Dann kommst du auf ein Integral, was genau der Definition der Gammafunktion entspricht.

Bezug
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