Integral über Kreisring < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Fr 07.02.2014 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Seien [mm] $R=\{(x,y,)|x^2+y^2\le4\}$, $\vec{v}=(x^3+y, y^3-x)$ [/mm] und [mm] $\partial [/mm] R$ der Rand von R.
Berechnen Sie [mm] $\int\limits_{\partial R}^{}\vec{v}(\vec{x})d\vec{x}$ [/mm] einmal direkt und einmal mit Hilfe eines geeigneten Integralsatzes. |
Hallo zusammen,
Ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter, hier sind mal meine Ansätze:
Zunächst der direkte Weg:
Die gegebene Menge beschreibt ja einen Kreisring, deswegen habe ich zunächst die Randkurve parametrisiert.
[mm] $\vec{c}_1=\vektor{cos\phi \\ -sin\phi}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}_2=\vektor{2cos\phi \\ 2sin\phi}$ [/mm] die erste Kurve hat ja diese Form weil die Randkurve immer so durchlaufen werden muss dass das Gebiet links liegt und der faktor 2 bei der zweiten Randkurve kommt daher dass der Radius des äußeren Kreises 2 ist.
Ist das erstmal soweit richtig?
Falls ja dann gilt ja:
[mm] $\int\limits_{\partial R}^{}\vec{v}(\vec{x})d\vec{x}=\int\limits_{C_1}^{}\vec{v}(\vec{c}_1)\cdot\dot{\vec{c_1}}d\phi+\int\limits_{C_2}^{}\vec{v}(\vec{c}_2)\cdot\dot{\vec{c_2}}\cdot2d\phi$ [/mm] die 2 kommt ja von der Jacobi-Determinante, da ich ja polarkoordinaten verwende...
Stimmt der Weg denn erstmal soweit?
Danke schon mal für die Hilfe.
Gruß marmik
ich habe die Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Seien [mm]R=\{(x,y,)|x^2+y^2\le4\}[/mm], [mm]\vec{v}=(x^3+y, y^3-x)[/mm] und
> [mm]\partial R[/mm] der Rand von R.
> Berechnen Sie [mm]\int\limits_{\partial R}^{}\vec{v}(\vec{x})d\vec{x}[/mm]
> einmal direkt und einmal mit Hilfe eines geeigneten
> Integralsatzes.
> Hallo zusammen,
> Ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter, hier
> sind mal meine Ansätze:
>
> Zunächst der direkte Weg:
> Die gegebene Menge beschreibt ja einen Kreisring, deswegen
> habe ich zunächst die Randkurve parametrisiert.
> [mm]\vec{c}_1=\vektor{cos\phi \\ -sin\phi}[/mm] und
> [mm]\vec{c}_2=\vektor{2cos\phi \\ 2sin\phi}[/mm] die erste Kurve hat
Die Kurve [mm] c_2 [/mm] ist ok. Du solltest aber noch das Intervall für [mm] \phi [/mm] angeben.
Deine Argumentation mit der ersten Kurve verstehe ich nicht. Der Rand [mm] \pd{R} [/mm] beschreibt ja einfach einen Kreis um den Nullpunkt mit Radius 2. Das hast du richtig erkannt.
Warum sprichst du also von einem "äußeren Kreis"?
> ja diese Form weil die Randkurve immer so durchlaufen
> werden muss dass das Gebiet links liegt und der faktor 2
> bei der zweiten Randkurve kommt daher dass der Radius des
> äußeren Kreises 2 ist.
> Ist das erstmal soweit richtig?
>
> Falls ja dann gilt ja:
> [mm]\int\limits_{\partial R}^{}\vec{v}(\vec{x})d\vec{x}=\int\limits_{C_1}^{}\vec{v}(\vec{c}_1)\cdot\dot{\vec{c_1}}d\phi+\int\limits_{C_2}^{}\vec{v}(\vec{c}_2)\cdot\dot{\vec{c_2}}\cdot2d\phi[/mm]
> die 2 kommt ja von der Jacobi-Determinante, da ich ja
> polarkoordinaten verwende...
Ja, denn die FUnktionaldet. ist allgemein r. Und bei dir ist ja r=2. Passt also.
>
> Stimmt der Weg denn erstmal soweit?
Ich würde nur ein INtegral berechnen.
[mm] \int_{0}^{2\pi}v(c(\phi))\cdot\dot{c}(\phi)*rdt
[/mm]
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> Danke schon mal für die Hilfe.
> Gruß marmik
>
> ich habe die Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Fr 07.02.2014 | | Autor: | marmik |
Tut mir Leid ich habe die menge nicht vollständig angegeben.
es heisst eigentlich [mm] $1\le x^2+y^2\le [/mm] 4$ deswegen komme ich auf die zwei kurven.
gruß marmik
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Denke dir das Kreisringgebiet wie in der Figur aufgeteilt. Das Integral über den positiv orientierten Rand des oberen Teils (blau) und das Integral über den positiv orientierten Rand des unteren Teils (rot) ergeben in der Summe das Integral über den äußeren und inneren Kreis, den äußeren positiv, den inneren negativ orientiert. Denn die Integrale über die Streckenstücke heben sich wegen gegensinniger Orientierung gegenseitig weg. Du mußt daher [mm]\partial R[/mm] folgendermaßen auffassen:
[mm]\partial R = \gamma - \delta[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hierbei ist [mm]\gamma[/mm] der äußere und [mm]\delta[/mm] der innere Kreisrand, jeweils positiv orientiert (die negative Orientierung innen wurde durch das Minuszeichen vor [mm]\delta[/mm] bereits berücksichtigt). Du kannst nun für
[mm]\omega = \left( x^3 + y \right) ~ \mathrm{d}x + \left( y^3 - x \right) ~ \mathrm{d}y[/mm]
das Kurvenintegral berechnen:
[mm]\int \limits_{\partial R} \omega = \int \limits_{\gamma} \omega - \int \limits_{\delta} \omega[/mm]
Nach dem allgemeinen Stokesschen Satz (möglicherweise kennst du das als Satz von Green) ist das dasselbe wie das Flächenintegral
[mm]\int \limits_R \mathrm{d} \omega[/mm]
Hierbei ist [mm]\mathrm{d} \omega = -2 ~ \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y[/mm]. Wenn du den Kalkül der alternierenden Differentialformen nicht kennst, mußt du das mit den Formeln der Vektoranalysis erledigen. Du solltest letztlich auf dieselben Integrale kommen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist der Wert [mm]-6 \pi[/mm].
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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