Integral über sin^2(x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $ \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sin^3x $ dx [/mm]
sowie
[mm] $ \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sin^2x $ dx [/mm]
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Hallo,
kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, nach welchen Regeln ich diese Integrale lösen kann? Ich stehe wiedermal aufm Schlauch.
Geht es möglicherweise mit Partieller Integration?
Vielen Dank im Vorraus
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> Geht es möglicherweise mit Partieller Integration?
Hallo,
ja, beginn mal bei [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sin^2x [/mm] dx mit partieller Integration und zeig , wie weit Du kommst.
Gruß v. Angela
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$ $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sin^2x [/mm] $ dx $ = $ $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sin(x)*\sin(x) [/mm] $ dx $
$ $ f = sin(x) , f' = cos(x) $ $
$ $ g'= sin(x) , g = -cos(x) $ $
Partielle Integration:
$ $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sin(x)*\sin(x) [/mm] $ dx $ = $ [sin(x)(-cos(x)) [mm] ]^{\frac \pi 2}_0 [/mm] $ - $ $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sin(x)*\sin(x) [/mm] $ dx $
Die Partielle Integration führt mich auf das gleiche Integral, nur mit einem Minus davor ...
Der Ausdruck
$ [sin(x)(-cos(x)) [mm] ]^{\frac \pi 2}_0 [/mm] $ $ = 0 $
ergibt sich zu Null.
Habe ich etwas falsch gemacht?
Irgendwie komme ich nicht weiter...
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Hallo,
im folgenden lasse ich die Grenzen weg um schreibarbeit zu sparen:
Du hast die partiele Integrationsregel falsch verwendet.
[mm] \integral_{}^{}{sin^{2}(x)dx}=-sin(x)cos(x)-\integral_{}^{}{\red{-cos^{2}(x)}dx}=-sin(x)cos(x)+\integral_{}^{}{cos^{2}(x)dx}=-sin(x)cos(x)+\integral_{}^{}{1-sin^{2}(x)dx}=-sin(x)cos(x)+\integral_{}^{}{1dx}-\red{\integral_{}^{}{sin^{2}(x)dx}}
[/mm]
Das rote Integral auf die linke Seite bringen:
[mm] 2\cdot\integral_{}^{}{sin^{2}(x)dx}=-sin(x)cos(x)+\integral_{}^{}{1dx}=....
[/mm]
Ich glaub den Rest schaffst du jetzt 
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Hallo,
noch ne kleine Anmerkung zum anderen Integral.
Das funktioniert genau so wie bei dem anderen. Immer schÖn an den tri. Pythagoras denken.
[mm] \integral_{}^{}{sin^{3}dx}=.....\bruch{-sin^{3}(x)cos(x)-2cos(x)}{3}
[/mm]
Viel Erflog ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Gruß
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Hallo,
Vielen Dank für die Hilfe, ich habe es geschafft das Integral von $ $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sin^2x [/mm] $ dx $ zu lösen. Die lösung ist $ [mm] {\bruch{\pi}{4}} [/mm] $ .
Doch ich mich verwirrt das Integral $ $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \sin^3x [/mm] $ dx $ .
Die Funktion besteht ja nun aus $sin(x)*sin(x)*sin(x)$ ...also aus 3 Multiplikationen.
Wie muss ich f' und g in meiner partiellen Integration wählen?
Viele Grüße
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Nochmal nachgehackt...
$ [mm] f=(sin(x))^{2} [/mm] $ , $ f'= 2sin(x)*cos(x) $
$ [mm] \\g'=sin(x) [/mm] $ , $ g=-cos(x) $
ja?
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Hallo,
> Nochmal nachgehackt...
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> [mm]f=(sin(x))^{2}[/mm] , [mm]f'= 2sin(x)*cos(x)[/mm]
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> [mm]\\g'=sin(x)[/mm] , [mm]g=-cos(x)[/mm]
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> ja?
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Fr 20.11.2009 | | Autor: | techniquez |
Die Lösung des Integrals von 0 bis Pi/2 über [mm] sin^3(x) [/mm] dx ergibt sich also zu 2/3.
Danke!
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