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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Formen sie ein gegebenes Intagral in ein geeignetes Anfangswertproblem um.
als Beispiel kann
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^2} dx} [/mm] |
Hallo ihr,
ich bräuchte mal bitte ein wenig Hilfe. Ich muss für mein Numerik Praktikum diesen Einstieg finden und dann mit Runge- Kutta weiter abeiten, doch den Ansatz habe ich nicht.
Kann mir da jemand helfen?
Also ich weiß
Jedes Anfangswertproblem (AWP) lässt sich in eine Integralgleichung
umwandeln. Das AWP
[mm] y_0(t) [/mm] = f (t, y)
und [mm] y(t_0) [/mm] = [mm] y_0
[/mm]
lautet dann
[mm] y(t_{end} [/mm] ) = C + [mm] \integral_{t_0}^{t_{end}}{f(t,y) dt} [/mm]
Hierbei ist natürlich vorausgesetzt, dass f (t; y) integrierbar ist.
Die Konstante C wird durch den Anfangswert bestimmt, so
dass [mm] y(t_0) [/mm] = [mm] y_0 [/mm] stimmt.
Aber wie gehe ich umgekehrt vor? Einmal allgemein und einmal am Beispiel wäre nett.
Ganz liebe Grüße und Dankeschön.
Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Fr 09.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast das AWP
(I) $y'(t)= f(t,y)$ , [mm] $y(t_0)= y_0$
[/mm]
Integration liefert:
$ [mm] \integral_{t_0}^{t}{y'(s) ds}= \integral_{t_0}^{t}{f(s,y(s)) ds}$
[/mm]
also
(II) $y(t) = [mm] y_0 [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{f(s,y(s)) ds}$
[/mm]
Gilt umgekehrt (II), so gilt [mm] y(t_0)=y_0 [/mm] und Differentiation von (II) nach t liefert (I) (dabei soltte f stetig sein)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 So 11.04.2010 | | Autor: | Ultio |
Hi,
also am Beispiel müsste es doch so aussehen, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe. Ich meine das mit den Differenzieren und integrieren ist ja alles logisch.
Ich möchte jetzt gerne mal zu meinem Beispiel kommen.
also ich habe die Funktion
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^2} dx} [/mm]
das sool ich jetzt in ein geeignetes AWP überführen/umformen
da gehe ich doch wie folgt vor, oder?
y(t) = 0 + [mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{1}{1+s^2} ds}
[/mm]
wobei 0 = [mm] y_0 [/mm] ist, damit doch mein Anfangswert.
wenn ich also y(t) nach t differenziere erhalte ich
y'(t) = [mm] {\bruch{1}{1+t^2}}
[/mm]
oder sehe ich da etwas falsch, wie bringe ich die Integrationskonstanten unter?
Dankeschön.
Gruß
Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 11.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
gegeben f(0)=0, f(1) gesucht.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:16 So 11.04.2010 | | Autor: | Ultio |
Sorry, aber weiß gerade nicht so richtig was du damit meinst? Ich meine, es ist klar was du meinst aber ich weiß nicht was ich jetzt falsch gemacht habe, wie baue ich dann daraus ein AWP?
Danke.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 12.04.2010 | | Autor: | Ultio |
also ich habe f(0) = 0, also ist das Integral von 0 bis 0 = 0 wie es ja definiert ist,
also sieht das Problem doch folgendermaßen aus, oder nicht?
geg.: f(0) = 0
ges.: f(1)
f(t) = 0 + [mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{1}{1+s^2} ds}
[/mm]
und für t = 1 gesucht.
Oder?
also dann nach Differentiation folgt doch
[mm] \bruch{df}{dt} [/mm] (t) = [mm] \bruch{1}{1+t^2}
[/mm]
Aber ich brauche doch wenn ich das Runge- Kutta- Verfahren danach anwenden soll, beispielsweise die Form y'(x) = f(x,y(x)), sonst entspricht das Verfahren doch der Kepler-Faßregel? Wie erhalte ich das denn?
Vielen dank.
Gruß
Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Mo 12.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist $f(1)= [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^2} dx}= [/mm] arctan(1) = [mm] \pi/4 [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mo 12.04.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo,
Danke dir, diese analytische Lösung habe ich auch,
Ich muss aber für das Praktikum eine beliebige Funktion wie die gegebene Rungefunktion in ein AWP umwandeln und soll dann das Runge- Kutta Verfahren anwenden.
Aber wie bilde ich das AWP denn, ist das von oben so verkehrt?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mo 12.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Funktion von x also f(x) ist auch f(x)=c
ebenso ist eine funktion von f(x,y) im Spezialfall nur von x abhängig.
Ich denke, du kannst dabei eben rauskriegen, dass Runge Kutta dabei auch funktioniert, aber eben das gleiche wie ein normales integrationsverfahren ergibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:51 Mi 14.04.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Formen sie ein gegebenes Intagral in ein geeignetes Anfangswertproblem um.
als Beispiel kann
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^2} dx} [/mm] dienen. |
naja, hatte schon mal so ein Thema angefangen, doch jetzt bin ich auf dem richtigen Dampfer.
Also:
es gibt ja die typische Integraldarstellung eines Differentialgleichungssystems in folgender Form:
y(x) = [mm] y_0 [/mm] + [mm] \integral_{x_0}^{x}{f(t, y(t)) dt}
[/mm]
die Iterationsidee dabei ist:
[mm] y(x_0) [/mm] = [mm] y_0
[/mm]
[mm] y_1 [/mm] (x) = [mm] y_0 [/mm] + [mm] \integral_{x_0}^{h}{f(t, y_0(t)) dt}
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] (x) = [mm] y_0 [/mm] + [mm] \integral_{x_0}^{2h}{f(t, y_1(t)) dt}
[/mm]
.
.
.
[mm] y_n(x) [/mm] = [mm] y_0 [/mm] + [mm] \integral_{x_0}^{b}{f(t, y_{n-1}(t)) dt}
[/mm]
wobei das Intervall [a,b] in [mm] [x_0, [/mm] h , 2h, ..., b] äquidistant zerlegt wurde.
Wenn ich jetzt als Beispiel die Runge- Funktion nutze:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
dann lautet doch das Anfangswertprobem in Integraldarstellung:
y(x) = 0 + [mm] \integral_{x_0}^{x}{f(t, y(t)) dt}
[/mm]
in allgemeiner Form.
Meine Frage ist nun:
Welche Funktion nutze ich für f ?
VIELEN DANK
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mi 14.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Formen sie ein gegebenes Intagral in ein geeignetes
> Anfangswertproblem um.
> als Beispiel kann
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^2} dx}[/mm] dienen.
> naja, hatte schon mal so ein Thema angefangen, doch jetzt
> bin ich auf dem richtigen Dampfer.
> Also:
> es gibt ja die typische Integraldarstellung eines
> Differentialgleichungssystems in folgender Form:
>
> y(x) = [mm]y_0[/mm] + [mm]\integral_{x_0}^{x}{f(t, y(t)) dt}[/mm]
>
> die Iterationsidee dabei ist:
> [mm]y(x_0)[/mm] = [mm]y_0[/mm]
> [mm]y_1[/mm] (x) = [mm]y_0[/mm] + [mm]\integral_{x_0}^{h}{f(t, y_0(t)) dt}[/mm]
>
> [mm]y_2[/mm] (x) = [mm]y_0[/mm] + [mm]\integral_{x_0}^{2h}{f(t, y_1(t)) dt}[/mm]
>
> .
> .
> .
> [mm]y_n(x)[/mm] = [mm]y_0[/mm] + [mm]\integral_{x_0}^{b}{f(t, y_{n-1}(t)) dt}[/mm]
>
> wobei das Intervall [a,b] in [mm][x_0,[/mm] h , 2h, ..., b]
> äquidistant zerlegt wurde.
>
> Wenn ich jetzt als Beispiel die Runge- Funktion nutze:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^2} dx}[/mm]
Das ist keine Funktion, sondern eine Zahl ! Ich hab Dir schon mal gesagt:
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^2} dx}= \pi/4[/mm]
> dann lautet doch
> das Anfangswertprobem in Integraldarstellung:
>
> y(x) = 0 + [mm]\integral_{x_0}^{x}{f(t, y(t)) dt}[/mm]
Ist [mm] y_0 [/mm] =0 ?
> in
> allgemeiner Form.
>
> Meine Frage ist nun:
> Welche Funktion nutze ich für f ?
Schwer zu verstehen, Deine Frage !
f ist gegeben durch das AWP $y'=f(x,y(x)), $ [mm] $y(x_0) =y_0$
[/mm]
FRED
>
> VIELEN DANK
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mi 14.04.2010 | | Autor: | Ultio |
ja das weiß ich, aber ich soll das Integral numerisch berechnen
und wenn ich ein beliebiges Integral in die Integraldarstellung des AWP umschreibe dann habe ich doch sozusagen eine Iteration für das Integral, klar dass das ein wert ist. Doch in den Gleichungen der Iteration taucht doch dieses f(t, y(t)) auf, was muss ich dann für f einsetzen? wir können als beispiel auch eine andere Funktion nehmen
Danke dir.
Gruß
Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Mi 14.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f(t,y(t)=1/(1+t^2)
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Mi 14.04.2010 | | Autor: | Ultio |
DANKESCHÖN an Alle....
echt nett von euch.
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