Integral von z²* e^-z < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Mit Hilfe der partiellen Integration soll folgendes unbestimmtes Integral ermittelt werden:
Integral z²*e-z dz |
Habe bei mir g´=z² und f= e^-z gesetzt, so dass sich die erste Zeile der Integration wie folgt darstellt:
e^-z * 2z - Integral e^-z * z²
Jetzt meine Frage (n):
Ist die Auf- bzw. Ableitung von e^-z genau wie [mm] e^x [/mm] immer dieselbe?
2. Müsste ich im hinteren Integral nicht wieder partiell Integrieren, da eine Kürzung oder direkte Vereinfachung ausscheidet?
Die Musterlösung ist:
-e^-z (2+2z+z²) + C
Für eure Bemühung vielen Dank im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Dennis,
irgendwie hatte ich eben technische Probleme, jetzt aber wirklich eine Antwort: 
> Mit Hilfe der partiellen Integration soll folgendes
> unbestimmtes Integral ermittelt werden:
> Integral z²*e-z dz
> Habe bei mir g´=z² und f= e^-z gesetzt, so dass sich die
> erste Zeile der Integration wie folgt darstellt:
>
> e^-z * 2z - Integral e^-z * z²
Bitte gewöhne dich an unseren Formeleditor! Es ist ganz einfach und viel leichter zu lesen. Du kannst dann auch schneller mit einer Antwort rechnen!
Deine Gleichung scheint aber nicht richtig zu sein. Es gilt ja:
[mm]\int f(z) \cdot g'(z) \, dz =f(z) \cdot g(z) - \int f'(z) \cdot g(z) \, dz[/mm].
Setze am besten [mm] $g'(z)=e^{-z}$ [/mm] und [mm] $f(z)=z^2$. [/mm] Das $f$ sollte immer ein Funktion sein, die sich beim Ableiten, oder möglicherweise mehrfachen Ableiten, sehr vereinfacht!
> Ist die Auf- bzw. Ableitung von e^-z genau wie [mm]e^x[/mm] immer
> dieselbe?
Natürlich nicht. Beim Ableiten nutzt du die Kettenregel, also für [mm] $f(x)=e^{-x}$ [/mm] gilt
[mm] $f'(x)=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$.
[/mm]
> 2. Müsste ich im hinteren Integral nicht wieder partiell
> Integrieren, da eine Kürzung oder direkte Vereinfachung
> ausscheidet?
Du mußt, auch wenn du den ersten Schritt richtig machst, noch ein zweites Mal partiell integrieren!
Viele Grüße
Astrid
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So ich hoffe ich habe es jetzt soweit, hab zumindest die Musterlösung raus, hoffe nur der Rechenweg ist richtig, wollte sie nur nochmal überprüfen lassen, da es für mich eine der wenigen Paradeaufgaben ist.
Also : Das Integral war ja z² * [mm] e^{-z}
[/mm]
[mm] g'=e^{-z} [/mm] g= [mm] -e^{-z}
[/mm]
f=z² f'=2z
Partielle Integration ergibt:
z² * [mm] e^{-z} [/mm] - [mm] \integral [/mm] 2z * - [mm] e^{-z}
[/mm]
--> z² * [mm] e^{-z} [/mm] -2 [mm] \integral [/mm] z * - [mm] e^{-z}
[/mm]
durch 2. partielle Integration des hinteren Integrals ergibt sich
--> z² * [mm] e^{-z} [/mm] -2 * [mm] e^{-z} [/mm] (z+1)
Neurodnung ergibt
--> z² * [mm] e^{-z} [/mm] - [mm] e^{-z} [/mm] * 2z+2
Zusammengefasst dann die endgültige Lösung
[mm] -e^{-z} [/mm] (z²+2z+2) +C
ist der Rechenweg denn so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dennis!
> Partielle Integration ergibt:
>
> z² * [mm]e^{-z}[/mm] - [mm]\integral[/mm] 2z * - [mm]e^{-z}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es muss heißen:
$... \ = \ [mm] z^2*\left( \ \red{-}e^{-z} \ \right) [/mm] - [mm] \integral{2z*\left(-e^{-z}\right) \ dz} [/mm] \ = \ [mm] -z^2*e^{-z}+2*\integral{z*e^{-z} \ dz}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Oh, stimmt hab ich beim abschreiben vom Papier übersehen, aber wieso hast du am Ende nochmals alle Vorzeichen gewechselt?
Ansonsten denn alles seine Richtigkeit?
Gruß
Dennis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dennis!
Ich wechsle doch nicht alle Vorzeichen, sondern beim ersten Term habe ich das Minuszeichen lediglich vor das Produkt gezogen. Und beim zweiten Integral wird hier der Term $-2_$ vor das Integral gezogen.
In Deiner Rechnung stimmt zwar das Endergebnis, aber beim Ausmultiplizieren des Ausdruckes [mm] $-2*e^{-z}*(z+1)$ [/mm] unterläuft Dir ein weiterer Vorzeichenfehler. Es muss heißen:
[mm] $-2*e^{-z}*(z+1) [/mm] \ = \ [mm] -2z*e^{-z} [/mm] \ [mm] \red{-}2*e^{-z}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Wie ich habe doch folgenden Term:
z² * [mm] -e^{-z} [/mm] - 2 * [mm] e^{-z} [/mm] * (z+1)
Jetzt hab ich gesagt frei nach dem Kommutativgesetzt kann ich diese vertauchen und die 2 direkt auf die Klammer anwenden, so dass 2z und 2 entsteht!?
--> [mm] -e^{-z} [/mm] * (z²+2z+2)
Wenn ich die Lösung nehme die du hattest wie kann denn dann mein Ergebnis richtig sein müsste ich dann nicht in der Klammer -2z und -2 haben?
Gruß Dennis
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Schreibe hier nochmal die Zusammenfassung hoffe das sie jetzt soweit richtig ist, da sie auch auf meine Homepage eine Beispielaufgabe für partielles Integrieren darstellen soll:
z² * [mm] e^{-z}
[/mm]
daraus folgt g´= [mm] e^{-z} [/mm] und g=- [mm] e^{-z}
[/mm]
f=z² und f´= 2z
Somit die erste Zeile
z² * (- [mm] e^{-z}) [/mm] - [mm] \integral_ [/mm] 2z * (- [mm] e^{-z})
[/mm]
Weiter dann
z² * (- [mm] e^{-z}) [/mm] -2 [mm] \integral_ [/mm] z * (- [mm] e^{-z})
[/mm]
Das 2. Integral partiell abgeleitet ergibt dann [mm] e^{-z} [/mm] * (z+1)
in die 2. Zeile eingesetzt ergibt sich
z² * ( - [mm] e^{-z}) [/mm] -2 * [mm] e^{-z} [/mm] * (z+1)
Ausmultiplizieren von 2 und (z+1)
--> z² * (- [mm] e^{-z}) [/mm] - [mm] e^{-z} [/mm] * 2z +2
und last but not least die endgültige Form
- [mm] e^{-z} [/mm] * (z²+2z+2) + C
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dennis!
Das stimmt leider immer noch nicht: Du schluderst mit den Vorzeichen und Rechenzeichen ...
> z² * ( - [mm]e^{-z})[/mm] -2 * [mm]e^{-z}[/mm] * (z+1)
>
> Ausmultiplizieren von 2 und (z+1)
>
> --> z² * (- [mm]e^{-z})[/mm] - [mm]e^{-z}[/mm] * 2z +2
$... \ = \ [mm] z^2*\left(-e^{-z}\right)-e^{-z}*2z [/mm] \ [mm] \red{-} \red{e^{-z}}*2 [/mm] \ = \ [mm] -e^{-z}*z^2-e^{-z}*2x-e^{-z}*2$
[/mm]
Und nun [mm] $-e^{-z}$ [/mm] ausklammern ...
> - [mm]e^{-z}[/mm] * (z²+2z+2) + C
Dann da hättest Du sonst mit Deiner Rechnung gar nicht landen können ...
Gruß
Loddar
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So jetzt hab ich es nochmal ganz aufgerollt und siehe da ich glaube ich habe den Fehler gefunden:
[...]
z² * [mm] (-e^{-z}) [/mm] -2 [mm] \integral_ [/mm] z * [mm] (--e^{-z})
[/mm]
--> z² * [mm] (-e^{-z}) [/mm] -2 * [mm] -e^{-z} [/mm] (z+1)
-->z² * [mm] (-e^{-z}) [/mm] - [mm] (-e^{-z}) [/mm] * (2z +2)
-->z² * [mm] (-e^{-z}) [/mm] - [mm] (-e^{-z}) [/mm] *2z [mm] -e^{-z} [/mm] *2
--> Das zusammengefasst führt dann zur Lösung
--> [mm] -e^{-z} [/mm] (z²+2z+2) + C <--
So nach kanpp 5 Stunden hoffe ich doch das es soweit richtig ist.
Vielen Dank nochmal allen die mir geholfen haben.
PS. Eine Frage habe ch noch ist das Rote Minus richtig?
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| Aufgabe | | z² * [mm] e^{-z} [/mm] |
Hier jetzt nochmal die komplette Aufgabe meiner Meinung nach nun richtig:
[mm] g'=e^{-z} [/mm] g= [mm] -e^{-z}
[/mm]
f=z² f'=2z
Somit ergibt sich
z² * [mm] (-e^{-z}) [/mm] - [mm] \integral_ [/mm] 2z * [mm] (-e^{-z})
[/mm]
1. Schritt die 2 Kann vor das Integral
z² [mm] (-e^{-z}) [/mm] -2 [mm] \integral_ [/mm] z * [mm] (-e^{-z})
[/mm]
Da das Integral auch ein Produkt ist nochmal partiell integrieren (siehe NR)
z² * [mm] (-e^{-z}) [/mm] - 2 * [mm] e^{-z} [/mm] * (z+1)
Ausmultiplikation von 2 mit (z+1)
z² * [mm] (-e^{-z}) [/mm] - (2z + 2) * [mm] e^{-z}
[/mm]
Die Klammer dann mit [mm] e^{-z} [/mm] multiplizieren
z² * [mm] (-e^{-z}) [/mm] -2z* [mm] e^{-z} [/mm] - 2 * [mm] e^{-z}
[/mm]
Das zusammengefasst ergibt
[mm] -e^{-z} [/mm] (z²+2z+2) + C
Hab so hoffe ich auch alle Vorzeichen richtig.
Die Nebenrechnung für die 2. Integratio
z * [mm] (-e^{-z})
[/mm]
g'= [mm] -e^{-z} [/mm] g= [mm] e^{-z}
[/mm]
f= z f'=1
z* [mm] e^{-z} [/mm] - [mm] \integral 1*e^{-z}
[/mm]
[mm] z*e^{-z} [/mm] - [mm] \integral e^{-z}
[/mm]
--> z* [mm] e^{-z} [/mm] + [mm] e^{-z} [/mm]
(da [mm] e^{-z} [/mm] aufleitet mit dem - vor dem Integral = + macht)
[mm] e^{-z} [/mm] (z+1)
Gruß Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dennis!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mi 12.04.2006 | | Autor: | ruhrpotter |
Um das Ganze mit den Worten eines einsamen Mannes (Tom Hanks) auf einer fernen Insel zu beenden: "Ich habe Feuer gemacht".
So jetzt hab ich endlich ein kompliziertes Muster für meine Page und zum besseren Verständnis.
Vielen Dank nochmal an alle.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
aber du hast im anderen Artikel keine Klammer gesetzt und damit war das + falsch, ganz davon abgesehen hat dir so auch ein [mm] -e^{-x} [/mm] gefehlt.
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
