Integral x^n y^m < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 15.11.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | | Integriere die Funktion [mm] x^n*y^m [/mm] (n,m [mm] \el \IN) [/mm] über das Dreieck [mm] \Delta^2 [/mm] ={(x,y) [mm] \el \IR, [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] 0, x+y [mm] \le [/mm] 1} |
Hallo!
Ich habe da jetzt folgende Summe herausbekommen:
[mm] \summe_{i=0}^{m+1}\vektor{m+1\\i} \bruch{1^{n+1+i)}}{(m+1)(n+1+i)}
[/mm]
Das Ergebnis soll allerdings [mm] \bruch{m!*n!}{(m+n+2)!} [/mm] sein.
In diesem Artikel steht das Gleiche.
Aber wie kommt man von der Summe zu den Fakultäten???
Könntet ihr mir hier auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße
mathiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mo 15.11.2010 | | Autor: | max3000 |
Für sowas gibt es Computeralgebrasysteme, wie Mathematica oder Maple ^^.
Erstmal würde ich jedenfalls den Binomialkoeffizienten mit den Fakultäten ausdrücken.
Da kommt irgendwas im Zähler mit (m+1)! raus und dann kürzt du die m+1 mit der, die im nenner bereits steht und dann hast du schonmal das m! drin, wie in der Musterlösung. Das sollte dir als Ansatz helfen. Versuche irgendwie alles, wo i drin vorkommt zu kürzen. Sollte dir das gelingen, kannst du die Summe auch ersetzen. Da wird das ganze ja nur mit (m+1) multipliziert.
Und korrigier bitte nochmal den Tippfehler in deiner Lösung. Sonst kommts nur zu Missverständnissen.
Grüße
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:06 Di 16.11.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo mathiko,
ich komme auf
[mm]\int_0^1\int_0^{1-x}x^ny^m\ dy\ dx=\int_0^1 x^n \left.\frac{y^{m+1}}{m+1}\right|_0^{1-x}=\frac{1}{m+1}\cdot \int_0^1 x^n \cdot \sum_{k=0}^{m+1}{m+1\choose k} (-x)^k\ dx[/mm]
[mm]=\frac{1}{m+1}\cdot \sum_{k=0}^{m+1}{m+1\choose k} (-1)^k\cdot \int_0^1 x^{n+k}\ dx=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m+1}{m+1\choose k}\frac{(-1)^k}{n+k+1}\cdot x^{n+k+1}\Bigg|_0^1=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m+1}{m+1\choose k}\frac{(-1)^k}{n+k+1}[/mm]
Sieht fast wie bei dir aus - bis auf den Zähler [mm](-1)^k[/mm]. ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia spuckt folgendes aus: [mm]\sum_{k=0}^{m+1}{m+1\choose k} \frac{(-1)^k}{n+k+1}=\frac{1}{(m+n+2){n+m+1\choose n}}[/mm] (*). Also
[mm]\ldots = \frac{1}{m+1}\cdot \frac{1}{(m+n+2){n+m+1\choose n}}=\frac{(m+1)!\ n!}{(m+1)(m+n+2)(m+n+1)!}=\frac{m!\ n!}{(m+n+2)!}[/mm]
Wenn du (*) z.B. durch Induktion zeigst, bist du fertig.
Lieben Gruß,
Fulla
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