matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationIntegralabschätzung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Integration" - Integralabschätzung
Integralabschätzung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integralabschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Mo 05.07.2010
Autor: Riesenradfahrrad

Aufgabe
Aufgabe siehe http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~koeditz/Ana2_10/Ana2_10l.pdf

Nummer 53

Hallo!

ich habe ein Problem die Lösung zur Aufgabe 53 zu verstehen. Im Beweis  steht in dem Absatz beginnend mit:
Für $n>1$ erhält man....
dann in der zweiten Gleichungszeile zweite Abschänzung - da steht dann auf einmal nen [mm] $\frac{1}{n!}$ [/mm] und ich hab keinen blassen Schimmer, wie das dahin kommen soll.
Wär super nett, wenn mir da jemand auf die Sprünge hilft!

Vielen Dank im Voraus,
Lorenz

        
Bezug
Integralabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:37 Di 06.07.2010
Autor: fred97

Es geht also um

            [mm] $|T^n(y)(x)-T^n(z)(x)| \le \bruch{(Lx)^n}{n!}||y-z||$ [/mm]


Für n=1 ist das in dem pdf-Dokument gezeigt. Und was steht da noch ????

Da steht noch:  " Für $ n>1 $ erhält man erhält man so durch Induktion :

                [mm] $|T^n(y)(x)-T^n(z)(x)| \le \bruch{(Lx)^n}{n!}||y-z||$ [/mm]

Tja, und dieser Induktionsbeweis bleibt dem Leser überlassen ! Dann mach ihn mal und Du wirst sehen, es funktioniert wunderbar.

Manchmal muß man Dinge einfach tun

FRED

Bezug
                
Bezug
Integralabschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Di 06.07.2010
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo Fred,

danke für die rasche Antwort. Ich habe die Aufgabe mehrfach gelesen. Das Problem ist, wie gesagt, das $1/n!$, auf [mm] $(La)^n$ [/mm] komme ich selbst:

[mm] $$\vert T^n(y)(x)-T^n(z)(x)\vert=\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert$$ [/mm]
Da nach Voraussetzung [mm] $T:B\rightarrow [/mm] B$, gilt (da in $B$ geltend, auch in $T(B)$ geltend) auch für alle [mm] $n\in \mathbb [/mm] N$ die Lipschitzbed.
[mm] $$\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert\leq \int_0^x L\vert T^{n-1}(y)(x)-T^{n-1}(z)(x)\vert [/mm] dt$$
Darausfolgt aber meiner Ansicht nach NUR:
[mm] $$\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert\leq L\int_0^xL\int_0^x\ldots L\int_0^x \vert y-z\vert\,dt\,dt\ldots dt\,dt\leq L\int_0^xL\int_0^x\ldots [/mm] L [mm] x\,\Vert y-z\Vert\,dt\,dt\ldots [/mm] dt$$
Wir haben $n$ Integrationen über die Konstante [mm] x^k\,\Vert y-z\Vert [/mm] von 0 bis $x$ und k wächst pro Int um eins, es gilt dann noch die Abschätzung [mm] $x\leq [/mm] a$, so dass man [mm] $(La)^n$ [/mm] bekommt und Faktor [mm] $\Vert y-z\Vert$ [/mm] bleibt natürlich auch. Doch woher kommt das $1/n!$???
Ich werde die Frage deshalb wieder als unbeantwortet deklarieren.

Gruß,
Lorenz

Bezug
                        
Bezug
Integralabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Di 06.07.2010
Autor: leduart

Hallo
warum machst du nicht die Induktion, n=1 hast du ja schon, nimm an die Formel mit n! stimmt und mach den induktionsschritt. (du kannst ihn ja auch ohne n! versuchen, dann klappts halt nicht.
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Integralabschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Di 06.07.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> danke für die rasche Antwort. Ich habe die Aufgabe
> mehrfach gelesen. Das Problem ist, wie gesagt, das [mm]1/n![/mm],
> auf [mm](La)^n[/mm] komme ich selbst:
>  
> [mm]\vert T^n(y)(x)-T^n(z)(x)\vert=\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert[/mm]
>  
> Da nach Voraussetzung [mm]T:B\rightarrow B[/mm], gilt (da in [mm]B[/mm]
> geltend, auch in [mm]T(B)[/mm] geltend) auch für alle [mm]n\in \mathbb N[/mm]
> die Lipschitzbed.
>  [mm]\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert\leq \int_0^x L\vert T^{n-1}(y)(x)-T^{n-1}(z)(x)\vert dt[/mm]
>  
>  Darausfolgt aber meiner Ansicht nach NUR:
>  [mm]\vert T(T^{n-1}(y)(x))-T(T^{n-1}(z)(x))\vert\leq L\int_0^xL\int_0^x\ldots L\int_0^x \vert y-z\vert\,dt\,dt\ldots dt\,dt\leq L\int_0^xL\int_0^x\ldots L x\,\Vert y-z\Vert\,dt\,dt\ldots dt[/mm]
>  
> Wir haben [mm]n[/mm] Integrationen über die Konstante [mm]x^k\,\Vert y-z\Vert[/mm]
> von 0 bis [mm]x[/mm] und k wächst pro Int um eins, es gilt dann
> noch die Abschätzung [mm]x\leq a[/mm], so dass man [mm](La)^n[/mm] bekommt
> und Faktor [mm]\Vert y-z\Vert[/mm] bleibt natürlich auch. Doch
> woher kommt das [mm]1/n![/mm]???
> Ich werde die Frage deshalb wieder als unbeantwortet
> deklarieren.



Ich kann mich Leduart nur anschließen und nochmal wiederholen was ich oben schon gesagt habe:

       ..................  Manchmal muß man Dinge einfach tun .............


FRED

>  
> Gruß,
>  Lorenz  


Bezug
                                
Bezug
Integralabschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:26 Do 08.07.2010
Autor: Riesenradfahrrad

Danke an leduart und fred für die weiteren Antworten. Es tut mir leid, aber ich sehe die Induktionsmöglichkeit einfach nicht. Dort wo ein $n!$ entstehen könnte, nämlich die durch n-faches integrieren einer Konstante nach $t$ entsteht bei mir nur ein [mm] $x^n$, [/mm] denn [mm] $\int_0^xdt$ [/mm] "wandelt" das $t$ ja direkt in ein $x$ "um", so dass bei weiterer integration nach $t$, der Integrant nicht $t$ (was dann zur Stammfunktion [mm] $\frac{1}{2!} t^2$ [/mm] führen und so iterativ zum [mm] $\frac{1}{n!}$), [/mm] sonder $x$, dann [mm] $x^2$, $x^3$ [/mm] usw.
Oder irre ich mich (hoffentlich)??



Bezug
                                        
Bezug
Integralabschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:56 Do 08.07.2010
Autor: fred97

Induktionsvor.:  sei n [mm] \in \IN [/mm] und  

                $ [mm] |T^n(y)(x)-T^n(z)(x)| \le \bruch{(Lx)^n}{n!}||y-z|| [/mm] $

n [mm] \to [/mm] n+1:

    $ [mm] |T^{n+1}(y)(x)-T^{n+1}(z)(x)| \le L\integral_{0}^{x}{|T^n(y)(t)-T^n(z)(t)| dt} \le L\integral_{0}^{x}{\bruch{(Lt)^n}{n!}||y-z|| dt}= \bruch{L^{n+1}}{n!}||y-z||\integral_{0}^{x}{t^n dt}= \bruch{L^{n+1}}{n!}||y-z||\bruch{x^{n+1}}{n+1}$ [/mm]


FRED

Bezug
                                                
Bezug
Integralabschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:37 Do 08.07.2010
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo Fred,

ach sooo...! Herzlichen Dank, jetzt seh ichs!

Herzliche Grüße,
Lorenz

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]