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| Aufgabe | | Bestimme diejenige Ursprungsgerade, die den durch die x-Achse und durch y= [mm] -x^2+6x [/mm] bestimmten Parabelabschnitt in 2 Teilflächen mit gleichen Inhalt zerlegt. |
Wie wird das gerechnet?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, pumpelpine,
> Bestimme diejenige Ursprungsgerade, die den durch die
> x-Achse und durch y= [mm]-x^2+6x[/mm] bestimmten Parabelabschnitt in
> 2 Teilflächen mit gleichen Inhalt zerlegt.
> Wie wird das gerechnet?
Eigene Lösungsvorschläge?!
Ich geb' Dir ein paar Tipps:
(1) Du musst zunächst die Fläche berechnen, die zwischen der Parabel und der x-Achse liegt.
Dazu brauchst Du natürlich die Nullstellen, denn die sind gleichzeitig die Integrationsgrenzen.
(Zum Vergleich: Da kommt 36 raus).
(2) Nun setzt Du die Ursprungsgerade allgemein an mit: y=mx.
Dann rechnest Du die x-Koordinaten der Schnittpunkte aus.
(Zum Vergleich: [mm] x_{2} [/mm] = 6-m, woraus sich natürlich logisch ergibt, dass 0 < m < 6 gelten muss.)
(3) Nun berechne das Integral
[mm] \integral_{0}^{6-m}{(-x^{2} + 6x - mx)dx}
[/mm]
und setze das Ergebnis gleich 18, denn dies ist die Hälfte von 36.
Daraus musst Du nun m bestimmen.
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein!
Danke erstmal!
Bis zu den x-Koordinaten hatte ich die Aufgabe, aber was mir fehlt ist das Integral! Wie komm ich auf dieses?
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Hi, Pumpelpine,
wenn Du Dir die Situation skizzierst (z.B. mit der Geraden y = 2x), dann siehst Du, dass die Gerade die Fläche zwischen der Parabel und der x-Achse in 2 Teile zerlegt. Der "obere" Teil, also der zwischen Parabel und Gerade ist einfacher zu berechnen. Und da die beiden Flächenstücke laut Aufgabenstellung sowieso gleich groß sein sollen, nehmen wir dieses Flächenstück und bestimmen den Inhalt in Abhängigkeit von m.
Da diese Fläche zwischen beiden Funktionsgraphen liegt, muss man vom linken Schnittpunkt (x=0) bis zum rechten (x=6-m) integrieren und zwar die Differenz der Funktionsterme "obere minus untere" Funktion, also "Parabel minus Gerade".
Daher:
[mm] \integral_{0}^{6-m}{(-x^{2} + 6x - mx)dx}
[/mm]
Noch ein Tipp:
Um am Schluss nach m auflösen zu können, ist es besser, das Integral in folgender Form zu schreiben:
[mm] \integral_{0}^{6-m}{(-x^{2} + (6-m)x)dx}
[/mm]
und die Klammer (6-m), die mehrfach vorkommt, bis kurz vor Schluss beizubehalten!
Kommst Du nun weiter?
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Do 16.02.2006 | | Autor: | Pumpelpine |
Vielen Dank, Zwerglein!
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Also ich hab das jetzt mal mit beiden Formeln durchgerechnet. Einmal hab ich für m= -12,26 und dann m= 1.24 raus. Hört sich beides falsch an oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Do 16.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Pumpelpine,
m= 1,24 ist völlig korrekt.
m= -12,26 allerdings recht seltsam (auch abgesehen davon, dass es außerhalb des vorab überlegten Definitionsbereiches liegt.
Schöne Grüße,
ardik
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