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Hi,
ich hänge leider bei einer Integrationsaufgabe. Das Buch aus dem ich sie habe, schreibt es anders als ich, deshalb komme ich aus der Lösung nicht heraus (außerdem fehlen die Zwischenschritte).
Ich schreibe euch mal auf was ich hinbekomme, bzw. wie ich es mache:
[mm] $\integral{\bruch{x^3+x}{x^4+2x^2} dx}$
[/mm]
Ich substituiere [mm] $\red{t}=x^4+2x^2$, [/mm] normalerweise stelle ich diese Gleichung auch gleich nach "x" um einsetzen zu können. Aber das klappt hier irgendwie nicht!
Jetzt würde ich eigentlich die nach x umgestellte Gleichung nach t einmal Ableiten und hinter das Integral hängen.
Danach ersetze ich:
[mm] $\integral{\bruch{\blue{x^3+x}}{t}*$\green{nach\ t\ abgeleitete\ funktion}$ dt}$
[/mm]
Ich kann jetzt weder den blauen Teil einsetzen noch den grünen.
Wie kann ich das Integral lösen?
Danke
Grüße Thomas
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Hallo Thomas,
dein Integral ist doch schon fast ein logarithmisches Integral,
also eines der Bauart [mm] \int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}
[/mm]
Und das hat ja bekanntlich die Stammfunktion [mm] $\ln\left|f(x)\right|+C$
[/mm]
Du musst den Zähler nur noch ein klein wenig "geschickt" erweitern...
Kommste mit dem Tipp weiter?
LG
schachuzius
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Hi schachuzius ,
danke für den Tipp. Ne sowas hatten wir noch nicht, das hab ich bisher noch nie gesehen. Kannst du mir mal ein Beispiel machen das auch ein logarithmisches integral ist. ich kann mir das so noch nicht vorstellen. also es soll ein einfaches logarithmisches integral sein, weil ich möchte auf die Erweiterung selbst kommen (also diesen Trick wie ich es erweitern muss).
Ich muss sowas schonmal an nem Beispiel gesehen haben, dann kann ich das evtl. auch lösen und sehe auch wie ich den Bruch erweitern muss.
Das wäre echt nett!
Danke
Grüße Thomas
> Hallo Thomas,
>
> dein Integral ist doch schon fast ein logarithmisches
> Integral,
>
> also eines der Bauart [mm]\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}[/mm]
>
> Und das hat ja bekanntlich die Stammfunktion
> [mm]\ln\left|f(x)\right|+C[/mm]
>
> Du musst den Zähler nur noch ein klein wenig "geschickt"
> erweitern...
>
>
> Kommste mit dem Tipp weiter?
>
>
> LG
>
> schachuzius
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Jo,
sollen wir bei deinem Bsp bleiben? Das ist ja musterhaft dafür...
Also wenn im Zähler [mm] 4x^3+4x [/mm] stünde, wäre das genau die Ableitung des Nenners, wir hätten also ein logarithmisches Integral, ok?
Also muss man den gegebenen Zähler mit 4 erweitern und um das auszugleichen, alles noch durch 4 teilen.
Dann haben wir im Endeffekt eine 1 dranmultipliziert, also nix verändert..
Also [mm] \int{\frac{x^3+x}{x^4+2x^2}dx}=\int{\frac{4}{4}\cdot{}\frac{x^3+x}{x^4+2x^2}dx}=\frac{1}{4}\cdot{}\int{\frac{4x^3+4x}{x^4+2x^2}dx}
[/mm]
voilà und da brauchste gar nicht mehr überlegen
Eine Stammfkt ist dann einfach [mm] \frac{1}{4}\cdot{}\ln|x^4+2x^2|+C
[/mm]
Das kannste bei Bedarf mit den geeigneten Logarithmengesetzen noch ein bissl schöner schreiben, aber eigentlich war's das dann schon 
Ich finde, dieser Weg ist eleganter als die Substitution, aber das ist Geschmackssache
Gruß
schachuzipus
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Hi nochmal,
mit deiner Substitution geht's aber auch...
[mm] t:=x^4+2x^2\Rightarrow \frac{dt}{dx}=4x^3+4x=4(x^3+x)\Rightarrow dx=\frac{1}{4}\cdot{}\frac{dt}{x^3+x}
[/mm]
Alles mal einsetzen...
[mm] \int{\frac{x^3+x}{x^4+2x^2}dx}=\int{\frac{x^3+x}{t}\cdot{}\frac{1}{4}\cdot{}\frac{dt}{x^3+x}}=\frac{1}{4}\cdot{}\int{\frac{1}{t}dt}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Sa 21.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Hi nochmal,
>
> mit deiner Substitution geht's aber auch...
>
> [mm]t:=x^4+2x^2\Rightarrow \frac{dt}{dx}=4x^3+4x=4(x^3+x)\Rightarrow dx=\frac{1}{4}\cdot{}\frac{dt}{x^3+x}[/mm]
>
> Alles mal einsetzen...
>
> [mm]\int{\frac{x^3+x}{x^4+2x^2}dx}=\int{\frac{x^3+x}{t}\cdot{}\frac{1}{4}\cdot{}\frac{dt}{x^3+x}}=\frac{1}{4}\cdot{}\int{\frac{1}{t}dt}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Hi,
hab folgendes herausbekommen:
$\frac{1}{4}*ln(x^4+2x^2)}$
Danke Grüße Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo,
du kannst das Integral auch gleich zu Beginn etwas vereinfachen:
[mm] \int{\frac{x^3+x}{x^4+2x^2}dx}
[/mm]
[mm] \int{\frac{x*(x^2+1)}{x^2(x^2+2)}dx}
[/mm]
[mm] \int{\frac{x^2+1}{x*(x^2+2)}dx}
[/mm]
[mm] \int{\frac{x^2+1}{x(x^2+2)}dx}
[/mm]
[mm] \int{\frac{x^2}{x(x^2+2)}dx} [/mm] + [mm] \int{\frac{1}{x(x^2+2)}dx}
[/mm]
[mm] \int{\frac{x}{x^2+2}dx} [/mm] + [mm] \int{\frac{1}{x(x^2+2)}dx}
[/mm]
Dann hast 2 Stammintegrale.
[mm] \int{\frac{x}{x^2+2}dx} [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{4}*ln(\bruch{2+x^2}{x^2}))
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*ln(2+x^2) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*ln(\bruch{2+x^2}{x^2})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*ln(2+x^2) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{4}*ln(2+x^2) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*ln(x^2))
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}*ln(2+x^2) +\bruch{1}{4}* ln(x^2)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}*ln((2+x^2)*(x^2))
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}*ln((2x^2+x^4)
[/mm]
So gehts auch
Lieben Gruß,
Dirk
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