Integralaufgabe < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, ich hab ehier folgende Integralaufgabe angefangen zu rechnen, komm aber nicht aufs Ergebnis!
Also die Aufgabe lautet: [mm] \integral_{}^{}{ sinh(x^{2}) x dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} cosh(x^{2} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2x}cosh(x^{2})*1 dx}
[/mm]
=
und dann würde die Sache ja wieder weitergehen, aber ich komme nicht aufs Ergebnis [mm] \bruch{1}{2} cosh(x^{2} [/mm] was ja bereits am Anfang meiner rechnung vorkommt, aber wie fällt das lezte Integral weg durch was?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Nix partielle Integration! Substituiere hier $u \ := \ [mm] x^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Aber das sieht doch ganz klar aus wie eine partielle Integration! aber die erste Zeile kann ich doch so lassen und nur jetzt im zweiten Integral noch substituieren oder?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Aber das sieht doch ganz klar aus wie eine partielle
> Integration! aber die erste Zeile kann ich doch so lassen
> und nur jetzt im zweiten Integral noch substituieren oder?
Hmm, ich sehe nicht so ganz, wie du auf deine erste Zeile kommst.
Es ist doch [mm] $\int{\underbrace{x}_{=u(x)}\cdot{}\underbrace{\sinh(x^2)}_{=v'(x)} \ dx}$ [/mm] zu berechnen
Das wäre mit partieller Integration [mm] $=u(x)\cdot{}v(x)-\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}$
[/mm]
Da stellt sich die Frage, wie du die (/eine) Stammfunktion von [mm] $\sinh(x^2)$ [/mm] gefunden hast
[mm] $\frac{1}{2x}\cdot{}\cosh(x^2)$ [/mm] ist es jedenfalls nicht, leite mal nach Produktregel ab, da kommt im Leben nicht [mm] $\sinh(x^2)$ [/mm] heraus
Also nimm lieber den Substitutionsansatz gem. Loddars Vorschlag
>
> lg Surfer
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Kappier ich irgendwie nicht, also ich habe:
[mm] \integral_{}^{}{x*sinh(x^{2}) dx}
[/mm]
Wenn ich jetzt substituiere
u:= [mm] x^{2} [/mm] erhalte ich:
[mm] u`=\bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] (x^{2})` [/mm] = 2x
-> dx = [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{du}{2u} }
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{2} u^{-1}du}
[/mm]
dann würde ich bekommen [mm] \bruch{1}{2}ln x^{2}
[/mm]
aber wie beziehe ich den anderen Teil mit ein? kappier nicht ganz wie vorgehen?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Surfer,
> Kappier ich irgendwie nicht, also ich habe:
> [mm]\integral_{}^{}{x*sinh(x^{2}) dx}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt substituiere
> u:= [mm]x^{2}[/mm] erhalte ich:
> [mm]u'=\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm](x^{2})'[/mm] = 2x
> -> dx = [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{du}{2u} }[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{2} u^{-1}du}[/mm]
>
> dann würde ich bekommen [mm]\bruch{1}{2}ln x^{2}[/mm]
>
> aber wie beziehe ich den anderen Teil mit ein? kappier
> nicht ganz wie vorgehen?
ich kann Deine Rechnung nicht nachvollziehen.
Ich erhalte jedenfalls folgendes:
[mm] $\int x*\sinh(x^2)dx=\frac{1}{2}*\int \sinh(x^2) \underbrace{2xdx}_{=du}=\frac{1}{2}*\int \sinh(u)du$
[/mm]
Für eine Stammfunktion von $u [mm] \mapsto \sinh(u)$ [/mm] zu finden, guckst Du entweder ![[]](/images/popup.gif) hier direkt bei Wikipedia (bei "Integrale", wo Du zudem $a:=1$ zu setzen hast) oder guckst noch mal hier (Antwort 2:42 Uhr) nach.
Am Ende dann die Resubstitution [mm] $u=u(x)=x^2$ [/mm] nicht vergessen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo Marcel
kannst du mir zeigen wie du auf den mittleren Teil in deinem Ergebnis kommst
[mm] \frac{1}{2}*\int \sinh(x^2) \underbrace{2xdx}_{=du}
[/mm]
> Ich erhalte jedenfalls folgendes:
>
> [mm]\int x*\sinh(x^2)dx=\frac{1}{2}*\int \sinh(x^2) \underbrace{2xdx}_{=du}=\frac{1}{2}*\int \sinh(u)du[/mm]
>
also das du ist klar, aber wie auf die 1/2? Bitte kurz zeigen, der rest ist mir dann vollends klar!
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Fr 30.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Trick ist, dass die 2 im Integral "fehlt"
Also
[mm] \integral x*\sinh(x^2))dx=\integral\red{1}x*\sinh(x^2)dx
[/mm]
Du bräuchtest für die weitere Rechnung aber:
[mm] \integral\red{2}x*\sinh(x^2)dx
[/mm]
Also füge ich die 2 ein, muss sie aber gleichzeitig wieder "herausnehmen"
Somit ergibt sich:
[mm] \integral x*\sinh(x^2)dx
[/mm]
[mm] =\integral\green{2*\bruch{1}{2}}*x*\sinh(x^2)dx
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\integral 2x*\sinh(x^2)dx
[/mm]
=...
Marius
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