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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Billy003 |
| Aufgabe | Für welche a in IR existiert folgendes Integral:
[mm] \integral_{M}{ (x^{2}+y^{2}+z^{2})^a d(x,y,z)}
[/mm]
mit M={(x,y,z) : [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2} \le R^{2} [/mm] } (R [mm] \ge [/mm] 0)
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Hi Leute,
mit dieser Aufgabe komm ich nicht so besonders gut klar..
könnte mir vielleicht jemand bei der Berechnung helfen??
Als Ansatz würde ich mir die Grenzen bei x, y und z wählen in Abhängigkeit von R aber die Integration macht mir sehr zu schaffen vor allem wegen dem a oder muss man gar nicht integrieren und kann auch schon so eine Aussage machen für welche a dieses Integral existiert?
Vielen Dank
Liebe Grüße,
Billy003
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Hallo Billy,
du hast eine rotationssymmetrische funktion auf einem rotationssymmetrischen integrationsgebiet, das spricht eindeutig für polar/kugel-koordinaten!
Es gibt eine nette Formel für solche fälle, die ihr hoffentlich(!) schon hattet:
[mm] $\int_{B_R}f(\|x\|)\;dx^n=\omega\int_0^R f(r)\, r^{n-1}\,dr$.
[/mm]
das ist im grunde nichts anderes als transformation in kugelkoordinaten im spezialfall der rotationssymmetrischen funktionen. [mm] $B_R$ [/mm] ist dabei die n-dimensionale kugel mit Radius $R$ und [mm] $\omega$ [/mm] eine konstante, ich glaube sowas wie die oberfläche der (n-1)-dimensionalen einheitssphäre.
wie auch immer, mit dieser Formel, kannst du die aufgabe ziemlich leicht lösen.
VG
Matthias
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