Integralberechnung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \lim_{n \to \infty } \integral_{0}^{1} \bruch{nx \sin(x) }{1 + (nx)^{\bruch{3}{2} } } dx [/mm] |
Guten Abend!
Ich versuche seit einiger Zeit diese Integral zu lösen, leider ohne großen Erfolg... Meine Idde dabei war bis jetzt, das mit Hilfe bekannter Konvergenzsätze zu lösen, sprich Satz von der monotonen Konvergenz. Soweit ich das sehe ist [mm] f_n [/mm] monoton steigende Folge von integrierbaren Funktionen. Nur irgendwie sehe ich nicht, dass sie beschränkt ist. Ist die das überhaupt? Denn wenn nicht, kann dieser Satz schon mal nicht zutreffen, und der von der dominierten Konvergenz dann leider auch nicht... Dort wird immer nach einer Beschränktheit verlangt.
Ich hoffe, jemand kann mir einen Tipp geben.
Vielen Dank!
Irmchen
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> Berechnen Sie
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> [mm]\lim_{n \to \infty } \integral_{0}^{1} \bruch{nx \sin(x) }{1 + (nx)^{\bruch{3}{2} } } dx[/mm]
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> Guten Abend!
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> Ich versuche seit einiger Zeit diese Integral zu lösen,
> leider ohne großen Erfolg... Meine Idde dabei war bis
> jetzt, das mit Hilfe bekannter Konvergenzsätze zu lösen,
> sprich Satz von der monotonen Konvergenz. Soweit ich das
> sehe ist [mm]f_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
monoton steigende Folge von integrierbaren
> Funktionen. Nur irgendwie sehe ich nicht, dass sie
> beschränkt ist. Ist die das überhaupt?
Der $\sin(x)$ Faktor im Zähler ist kein Problem. Für den Rest: betrachte das Verhalten von $\frac{z}{1+z^{\frac{3}{2}}$. Diese Funktion ist $0$ für $z=0$, hat einen Hochpunkt bei $z=2^{\frac{2}{3}}$ und geht für $z\rightarrow \infty$ gegen $0$. Dieser Term ist also für $z=nx\in [0;+\infty]$ durch eine Konstante, seinen Wert bei $z=2^{\frac{2}{3}}$, beschränkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 So 25.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
Also ich habe den folgenden Satz hier vor mir:
SATZ (monotone Konvergenz )
Sei [mm] f_n , n \in \mathbb N [/mm] eine fast überall monoton steigende Folge von integrierbaren Funktionen.
Die Folge [mm] \integral f_n [/mm] sei beschränkt.
Dann existiert [mm] f \in \mathcal L^1 [/mm] mit
(i) [mm] f_n \to f [/mm] fast überall
(ii) [mm] f_n \to f [/mm] bezüglich der [mm] L^1 [/mm] - Norm
(iii) [mm] \integral f = \limes_{n \to \infty } \integral f_n [/mm]
Ich bin mir absolut nicht sicher, ob ich den hier anwenden kann... Durch die Vorarbeit von Somebody ( danke nochmal !! ) weiß ich, dass die [mm] f_n [/mm] beschränkt sind, jedoch wird hier im Satz verlangt, dass das Integral über die Funktionen beschränkt ist... Ist dies der Fall? Und falls ja, was ist dann meine Grenzwertfunktion f, wogegen die konvergieren? Wie kann ich diese finden?
Ich hoffe jemand kann mir helfen!
Danke nochmal!
Gruß Irmchen
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> Hallo nochmal!
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> Also ich habe den folgenden Satz hier vor mir:
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> SATZ (monotone Konvergenz )
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> Sei [mm]f_n , n \in \mathbb N[/mm] eine fast überall monoton
> steigende Folge von integrierbaren Funktionen.
> Die Folge [mm]\integral f_n[/mm] sei beschränkt.
> Dann existiert [mm]f \in \mathcal L^1[/mm] mit
>
> (i) [mm]f_n \to f[/mm] fast überall
> (ii) [mm]f_n \to f[/mm] bezüglich der [mm]L^1[/mm] - Norm
> (iii) [mm]\integral f = \limes_{n \to \infty } \integral f_n[/mm]
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> Ich bin mir absolut nicht sicher, ob ich den hier anwenden
> kann... Durch die Vorarbeit von Somebody ( danke nochmal !!
> ) weiß ich, dass die [mm]f_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
beschränkt sind, jedoch wird hier
> im Satz verlangt, dass das Integral über die Funktionen
> beschränkt ist... Ist dies der Fall?
Aber sicher: denn der Integrand ist beschränkt und das Integrationsintervall ist kompakt. Ist z.B. $M$ die Schranke des Betrags des Integranden von $\int_a^b f(x)\; dx$, dann ist $M\cdot |b-a|$ eine Schranke für den Betrag des Integrals.
> Und falls ja, was ist
> dann meine Grenzwertfunktion f, wogegen die konvergieren?
> Wie kann ich diese finden?
Da musst Du nun eben den Limes $\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{nx\sin(x)}{1+(nx)^{3/2}$ untersuchen, wobei der Limes in einer Nullmenge (etwa abzählbar unendlich vielen speziellen Stellen) auch von der gesuchten Grenzfunktion $f$ des Integranden abweichen darf: im Sinne einer Vereinfachung, die auf den Wert des Integrals der Grenzfunktion keinen Einfluss hat. Wenn Du also mal die eine Stelle $x=0$ ignorierst, dann geht doch für $n\rightarrow 0$ der Wert von $nx$ gegen $+\infty$ und daher der Wert des Integranden gegen $0$. Ist aber $x=0$ so ist der Integrand für alle $n$ ohnehin $0$. Deshalb würde ich als Grenzfunktion schlicht die zugegebenermassen etwas langweilige Nullfunktion vorschlagen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 25.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Aber wenn ich als Grenzfunktion die Nullfunktion nehme, dann hat das Integral das Endergebnis Null, richtig?
Denn nach (iii) ist ja dann das Integral über die Grenzfunktion gleich dem Integral über die Folge der [mm] f_n [/mm] ...
Gruß Irmchen
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> Aber wenn ich als Grenzfunktion die Nullfunktion nehme,
> dann hat das Integral das Endergebnis Null, richtig?
> Denn nach (iii) ist ja dann das Integral über die
> Grenzfunktion gleich dem Integral über die Folge der [mm]f_n[/mm]
> ...
Was Du berechnen solltest, war der Grenzwert der Integrale der [mm] $f_n$ [/mm] und was Du z.B. aufgrund des Satzes über die majorisierte Konvergenz zusammen mit der Kenntnis der punktweisen Grenzfunktion $f$ der [mm] $f_n$ [/mm] sagen kannst, ist, dass der Grenzwert der Integerale der [mm] $f_n$ [/mm] gleich dem Integral der Grenzfunktion und daher, so scheint es, $0$ ist.
Nebembei bemerkt: Den Satz über die monotone Konvergenz zu verwenden zwingt Dich nur, den eigentlich unnötigen Aufwand zu treiben zu beweisen, dass die [mm] $f_n$ [/mm] monoton gegen die Grenzfunktion konvergieren (ich habe diesen Beweis der Monotonie der Konvergenz jedenfalls nicht zu führen versucht). Einfacher wäre, den Satz über die majorisierte Konvergenz anzuwenden: denn die [mm] $f_n$ [/mm] werden von unten durch die Nullfunktion und von oben durch eine über dem Intervall $[0;1]$ Konstante und ausserhalb willkürlich 0 zu setzende ebenfalls integrierbare Funktion beschränkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Ja, das ist wahr... Es ist einfachen des Satz der dominierten Konvergenz anzuwenden.
Sei [mm] f_n , n \in \mathbb N [/mm] eine Folge in [mm] \mathcal L ^1 [/mm]. Es gelte:
(i) [mm] f_n \to f [/mm] fast überall
(ii) es existiert [mm] g \in \mathcal L^1 [/mm] mit [mm] | f_n | \le g [/mm]
Dann folgt
(i) [mm] f \in \mathcal L^1 [/mm]
(ii) [mm] f_n \to f [/mm] in [mm] L^1 [/mm] - Norm
(iii) [mm] \limes_{ n \to \infty } \integral f_n [/mm] = [mm] \integral [/mm] f [/mm]
Also muss ich jetzt zeigen, dass die [mm] f_n [/mm] gegen eine Grenzfunktion, die ich als NUllfunktion wähle punktweise konvergieren und dass so eine Funktion g existiert, die die [mm] f_n [/mm] beschränkt. Als g kann ich ja dann die konstante FUnktion [mm] 2\bruch{2}{3} [/mm] wählen... Ist das jetzt erstmal so alles richtig?
Wenn ich dann gezeigt habe, kann ich den Satz anwenden und somit dann zum Schluss kommen, dass mein Integral dann den Wert Null hat, da ich ja dann über die Nullfunktion integriere... Richtig?
Viele Grüße
Irmchen
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> Ja, das ist wahr... Es ist einfachen des Satz der
> dominierten Konvergenz anzuwenden.
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> Sei [mm]f_n , n \in \mathbb N[/mm] eine Folge in [mm]\mathcal L ^1 [/mm]. Es
> gelte:
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> (i) [mm]f_n \to f[/mm] fast überall
>
> (ii) es existiert [mm]g \in \mathcal L^1[/mm] mit [mm]| f_n | \le g[/mm]
>
> Dann folgt
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> (i) [mm]f \in \mathcal L^1[/mm]
> (ii) [mm]f_n \to f[/mm] in [mm]L^1[/mm] - Norm
> (iii) [mm]\limes_{ n \to \infty } \integral f_n[/mm] = [mm]\integral[/mm] f[/mm]
>
> Also muss ich jetzt zeigen, dass die [mm]f_n[/mm] gegen eine
> Grenzfunktion, die ich als NUllfunktion wähle punktweise
> konvergieren und dass so eine Funktion g existiert, die die
> [mm]f_n[/mm] beschränkt. Als g kann ich ja dann die konstante
> FUnktion [mm]2\bruch{2}{3}[/mm] wählen...
Wenn schon [mm] $2^{2/3}$ [/mm] (in Worten: "zwei hoch zwei drittel"), nicht [mm] $2\frac{2}{3}$ (=$\frac{8}{3}$). [/mm] Der Wert [mm] $z=2^{2/3}$ [/mm] ist allerdings eigentlich nur die Maximalstelle von [mm] $z\mapsto \frac{z}{1+z^{\frac{2}{3}}}$. [/mm] Der zugehörige Funktionswert scheint [mm] $\red{\tfrac{1}{3}}\cdot 2^{2/3}$ [/mm] zu sein. Die grosszügigere Begrenzung durch [mm] $2^{2/3}$ [/mm] im Integrationsintervall $[0;1]$ ist natürlich auch brauchbar.
Auf diese Abschätzung kommt man, weil
[mm]\left|\frac{nx\sin(x)}{1+(nx)^{\frac{3}{2}}}\right|\leq \left|\frac{nx}{1+(nx)^{3/2}}\right|\leq \sup_{0\leq z\leq \infty}\frac{z}{1+z^{3/2}} =\frac{1}{3}\cdot 2^{2/3}[/mm]
> Ist das jetzt erstmal so
> alles richtig?
Ich denke schon.
>
> Wenn ich dann gezeigt habe, kann ich den Satz anwenden und
> somit dann zum Schluss kommen, dass mein Integral dann den
> Wert Null hat, da ich ja dann über die Nullfunktion
> integriere... Richtig?
Also dies ist jedenfalls der Schluss, den ich auch ziehen würde (enttäuschend ist nur, dass ein so langweiliges Ergebnis herausschaut). - Aber letzten Endes musst Du selbst von der Richtigkeit Deiner Überlegung überzeugt sein 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Erstmal Danke nochmal für Deine Mühe und Zeit, die Du hier für mich opferst  ... Ich bin schon mittlerweile von den Überlegungen recht überzeugt und bin auch froh, dass ich mit der Wahl der Funktion g nicht ganz daneben gegriffen habe...
Ich habe aber leider noch nicht das Ziel erreicht :-( , denn habe mal wieder Problemchen die punktweise Konvergenz zu zeigen ( ist übrigens ein Dauerproblem von mir :-( ) ...
Ich versuche das mit der folegende Definition:
[mm] f_n [/mm] heißt punktweise konvergent gegen eine Funktion [mm] f: X \to \mathbb R [/mm], wenn gilt:
[mm] \forall x \in X \ \forall \epsilon > 0 \ \exists N ( \epsilon , x ) \in \mathbb N \ \forall n > N( \epsilon , x ) :
\left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon [/mm]
Sei jetzt [mm] x \in \left[ 0,1 \right] [/mm] .
Dann gilt
[mm] \left| f_n (x) - f(x) \right| < \epsilon \Leftrightarrow \left| \bruch{nx \cdot \sin (x) }{1 + (nx)^{ \bruch{3}{2} } } - 0 \right| < \epsilon \\
\Leftrightarrow \bruch{nx \cdot \sin (x) }{1 + (nx)^{ \bruch{3}{2} } } < \epsilon [/mm]
Zwischenfrage: Ist das soweit ok ?
Falls ja, dann weiß ich jetzt leider nicht weiter, oder ist stelle mich einfach ziemlich dumm gerade an... Ich muss ja jetzt eingentlich herausfinden für welches n das gilt, und mein n darf ja hier bei der punktweise KOnvergent von x und Epsilon anhängen. Nur ich komme nicht weiter :-( ....
Was mache ich falsch???
Viele Grüße
Irmchen
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> Ich habe aber leider noch nicht das Ziel erreicht :-( ,
> denn habe mal wieder Problemchen die punktweise Konvergenz
> zu zeigen ( ist übrigens ein Dauerproblem von mir :-( )
> ...
>
> Ich versuche das mit der folegende Definition:
>
> [mm]f_n[/mm] heißt punktweise konvergent gegen eine Funktion [mm]f: X \to \mathbb R [/mm],
> wenn gilt:
>
> [mm]\forall x \in X \ \forall \epsilon > 0 \ \exists N ( \epsilon , x ) \in \mathbb N \ \forall n > N( \epsilon , x ) :
\left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon[/mm]
>
> Sei jetzt [mm]x \in \left[ 0,1 \right][/mm] .
> Dann gilt
>
> [mm]\left| f_n (x) - f(x) \right| < \epsilon \Leftrightarrow \left| \bruch{nx \cdot \sin (x) }{1 + (nx)^{ \bruch{3}{2} } } - 0 \right| < \epsilon \\
\Leftrightarrow \bruch{nx \cdot \sin (x) }{1 + (nx)^{ \bruch{3}{2} } } < \epsilon[/mm]
>
> Zwischenfrage: Ist das soweit ok ?
Ja.
> Falls ja, dann weiß ich jetzt leider nicht weiter, oder ist
> stelle mich einfach ziemlich dumm gerade an... Ich muss ja
> jetzt eingentlich herausfinden für welches n das gilt, und
> mein n darf ja hier bei der punktweise KOnvergent von x und
> Epsilon anhängen. Nur ich komme nicht weiter :-( ....
Du strengst Dich nach meinem Gefühl unnötig an. Beim Abschätzen von etwas, das (vermutlich) gegen 0 geht, muss man im rechten Masse grosszügig sein: sonst kalkuliert man sich schnell einmal dumm und dämlich. Zudem würde ich mich an Deiner Stelle nicht auf absolut pedantischen Konvergenznachweis nach dem Muster "für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $n_0\in \IN$ [/mm] so dass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt [mm] $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$" [/mm] festlegen. Etwas in dieser Art muss zwar möglich sein, wenn die betreffende Konvergenz tatsächlich gilt, aber ein [mm] $n_0$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und $x$ exakt aufzuzeigen, könnte extrem mühsam werden: das lass mal besser bleiben.
Es muss klar sein, dass uns jenes exakte [mm] $n_0$ [/mm] nicht wirklich interessiert: es genügt zu wissen, dass es ein solches [mm] $n_0$ [/mm] im Prinzip (für jedes gegebene [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ und jedes $x>0$) geben muss.
Lass mich erklären, wie ich in etwa vorgehen würde (ohne mir dabei einzubilden, dass solches Vorgehen vorbildlich sei: nur ist es jedenfalls zulässig und nicht mit übertriebenem Aufwand verbunden).
Zuerst einmal überlege ich noch ohne das lästige [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] herumzuschleppen, weil dies das Umformen beim Abschätzen in dieser ersten Phase nur unnötig behindert), zudem nehme ich an, dass $x>0$ (aber ansonsten beliebig) ist (was wir, wegen des Integrationsintervalls $[0;1]$ ausser im Fall $x=0$ sicher machen dürfen: ist $x$ aber $0$ so ist ohnehin [mm] $f_n(x)=0$ [/mm] für alle $n$)
[mm]\left| f_n (x) - f(x) \right| = \left|\frac{nx\sin(x)}{1+(nx)^{3/2}}\right|\leq \left|\frac{nx}{1+(nx)^{2/3}}\right|=\left|\frac{1}{\frac{1}{nx}+\sqrt{nx}}\right|[/mm]
Beim Übergang von der linken zur rechten Seite des letzten Gleichheitszeichens habe ich einfach Zähler und Nenner durch $nx$ geteilt (was wegen $nx>0$ sicher zulässig ist).
An dieser Stelle holst Du mal kurz Luft und fragst Dich, wie sich nun der letzte Term in dieser Umformungskette verhält, wenn Du [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] gehen lässt. Für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] geht doch, wegen unserer Annahme $x>0$, auch [mm] $nx\rightarrow \infty$, [/mm] nicht? Also geht der ganze Nenner [mm] $\rightarrow\infty$ [/mm] und daher der Wert dieses Terms [mm] $\rightarrow [/mm] 0$.
Mir persönlich würde diese Überlegung für den Nachweis von [mm] $f_n\rightarrow [/mm] 0$ bereits ausreichen. D.h. wir haben gezeigt: für alle [mm] $x\in [/mm] ]0;1]$ gilt (mit $f=0$), dass
[mm]|f_n(x)-f(x)|\leq \left|\frac{1}{\frac{1}{nx}+\sqrt{nx}}\right|\underset{n\uparrow \infty}{\longrightarrow} 0[/mm]
Also gilt (unter Berücksichtigung von [mm] $f_n(0)=0$, [/mm] für alle $n$), dass [mm] $f_n\rightarrow [/mm] f$, d.h. [mm] $f_n\rightarrow [/mm] 0$, für alle [mm] $x\geq [/mm] 0$, insbesondere für [mm] $x\in[0;1]$.
[/mm]
> Was mache ich falsch???
Ich denke, Du musst solche Beweise etwas lockerer, mit weniger Ehrgeiz des exakten Nachweises eines [mm] $n_0$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und $x$ angehen. An einem gewissen Punkt genügen grobe qualitative Überlegungen: explizite Bestimmungen von [mm] $n_0$ [/mm] sind nicht mehr gefragt (das war aber möglicherweise in einer früheren Phase Deines Studiums ausdrücklich nicht so). Da wir zur Anwendung des Satzes über die majorisierte Konvergenz nur wissen müssen, dass [mm] $f_n\rightarrow [/mm] f$ (fast überall), genügt in der Regel ein solches grobes, qualitatives Abschätzen des Verhaltens von [mm] $|f_n(x)-f(x)|$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] vollauf.
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