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Integralbest. mit monot. Konv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Do 31.12.2020
Autor: Flowbro

Hallo Allerseits,

habe folgende Frage mitgebracht bei der ich mir beim Vorgehen noch unsicher bin:
Es sei (Ω, A, µ) = (R, [mm] $B_{1}$, [/mm] $λ_{1}$). Für n ∈ N setzen wir:
i) [mm] $f_{n}^{(1)}$:= [/mm] nχ[−1,0)
ii) [mm] $f_{n}^{(2)}$:= [/mm] nχ[0,1) + [mm] $\frac{-\infty}{n}$ [/mm] χ[−1,0]
iii) [mm] $f_{n}^{(3)}$:= cos($\frac{\pi*n}{2}$)χ[0,1] [/mm] + [mm] $\frac{1}{n^{2}}$χ[√n,n] [/mm]
iv) [mm] $f_{n}^{(4)}$:= $\frac{1}{n^{2}}$ [/mm] χ( [mm] log(n),(-e)^{n} [/mm] )
v) [mm] $f_{n}^{(5)}$:= $\frac{1}{n^{3}}$χ[n,2n]∪(−2n,−n) [/mm]

Bestimmen Sie, im Falle der Existenz, lim [mm] $f_{n}^{(k)}$ [/mm] n→ [mm] $\infty$ [/mm] und berechnen Sie
lim [mm] $\int$ $f_{n}^{(k)}$d$λ_{1}$ [/mm] sowie [mm] $\int$lim$f_{n}^{(k)}$d$λ_{1}$ [/mm]
für 1 ≤ k ≤ 5. Überprüfen Sie außerdem, ob die Voraussetzungen für die Sätze der monotonen Konvergenz respektive der dominierten Konvergenz erfüllt sind.

Leider komme ich mit der Notationsweise immer noch nicht so ganz klar und weiß nicht wie ich konkret bei der Aufgabe vorgehen soll.

Bei i) ist ja zunächst mal der lim [mm] $f_{n}^{(1)}$= $\infty$ [/mm] (n --> [mm] $\infty$), [/mm] womit der Satz der monotonen Konvergenz ja nicht gelten dürfte und das Vorziehen des lim vor das Integral nicht zulässig ist, da ansonsten unterschiedliche Ergebnisse herauskommen, oder? (also lim [mm] $\int$ $f_{n}^{(1)}$d$λ_{1}$=1 [/mm] ungleich [mm] $\int$lim$f_{n}^{(1)}$d$λ_{1}$ =$\infty$) [/mm] Oder was kann man hier noch alles aussagen?

        
Bezug
Integralbest. mit monot. Konv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:44 Di 05.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Leider komme ich mit der Notationsweise immer noch nicht so
> ganz klar und weiß nicht wie ich konkret bei der Aufgabe
> vorgehen soll.

Zunächst wäre jeweils eine Bestimmung von [mm] $\lim_{n\to\infty} f_n$ [/mm] mal ein guter Anfang.

>  
> Bei i) ist ja zunächst mal der lim [mm]f_{n}^{(1)}[/mm]= [mm]\infty[/mm] (n --> [mm]\infty[/mm]),

Ja, auch wenn da die Indikatorfunktion fehlt.

>  womit der Satz der monotonen Konvergenz ja nicht gelten dürfte und das Vorziehen des lim vor das Integral nicht zulässig ist

Korrekt.

> da ansonsten unterschiedliche Ergebnisse herauskommen, oder?

Das ist nicht gesagt, es ist nur nicht sichergestellt, dass sie gleich sind (können es aber trotzdem sein)

> [mm]f_{n}^{(1)}[/mm]d[mm]λ_{1}[/mm]=1

Das rechnest du mal nochmal nach.

Gruß,
Gono

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