Integralbestimmung! < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme das Integral von [mm] sin^2(x)*x [/mm] in den Grenzen [0;pi] |
Wie soll ich da vorgehen? Wir behandeln grad die Substitutionsmethode, weshalb ich davon ausging sin(x) zu substituieren. komme letztendlich aber auf das falsche Ergebnis...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo proxgamer,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Es wäre schön gewesen, wenn Du uns auch Deine Versuche hier gepostet hättest.
Aber diese Aufgabe würde ich nicht mittels Substitution lösen sondern mit partieller Integration.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme das Integral von [mm]sin^2(x)*x[/mm] in den Grenzen [0;pi]
> Wie soll ich da vorgehen? Wir behandeln grad die
> Substitutionsmethode, weshalb ich davon ausging sin(x) zu
> substituieren. komme letztendlich aber auf das falsche
> Ergebnis...
ergänzend zu Loddars Vorschlag: Man muss hier wohl auch ein wenig
experimentieren.
Es gilt
[mm] $\int_0^\pi x\sin^2(x)dx=\left[\frac{1}{2}x^2\sin^2(x)\right]_{x=0}^{x=\pi}-\int_0^\pi \frac{1}{2}x^2*2\sin(x)\cos(x)dx$
[/mm]
[mm] $=\left[\frac{1}{2}x^2\sin^2(x)\right]_{x=0}^{x=\pi}-\int_0^\pi x^2*\sin(x)\cos(x)dx$
[/mm]
[mm] $=0-\frac{1}{2}\int_0^\pi x^2\sin(2x)dx$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2}\int_{z=0}^{z=2\pi} (z/2)^2\sin(z)\frac{dz}{2}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{16}\int_{0}^{2\pi} z^2*\sin(z)dz$
[/mm]
Nun kann man mit mehrfacher p.I. aber
[mm] $\int x^2 \sin(x)dx$
[/mm]
berechnen:
[mm] $\int x^2\sin(x)dx=\left[x^2*(-\cos(x))\right]-\int 2x(-\cos(x))dx$
[/mm]
[mm] $=\left[x^2*(-\cos(x))\right]+2\int x\cos(x)dx$
[/mm]
Das letzte Integral
[mm] $\int [/mm] x [mm] \cos(x)dx$
[/mm]
berechne noch analog.
Dann einsetzen und auswerten.
P.S. Kann sein, dass ich hier etwas zu umständlich vorgegangen bin. Wie
man jedenfalls (mach' Dir das vielleicht zuerst mal am Plot klar) auch
anfangen könnte:
[mm] $\int_0^\pi x*\sin^2(x)dx=2*\int_0^{\pi/2}x\sin^2(x)dx$
[/mm]
Ich glaube aber nicht, dass das so wesentlich einfacher werden wird...
P.P.S. Mach' Dir klar, dass Du mit obiger Methode nun generell (für festes
$n [mm] \in \IN$)
[/mm]
[mm] $\int x^n \sin(x)dx$ [/mm] bzw. [mm] $\int x^n \cos(x)dx$
[/mm]
berechnen kannst!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
