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Forum "Integralrechnung" - Integralbestimmung
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Integralbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Fr 09.02.2007
Autor: Petite

Aufgabe
Der Teil des Graphen der Funktion f(x)=sinx*cosx, der zwischen den Geraden mit den Gleichungen x=0 und [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm] liegt, rotiere um die x-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers.

Hier erstmal mein Ansatz:

[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sinx+cosx)^{2} dx} [/mm]
[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sin^{2}x+2sinx*cosx+cos^{2}x) dx} [/mm]

nach trigonometrischen Pythagoras: [mm] sin^{2}+cos^{2}=1 [/mm]
[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+2sinx*cosx) dx} [/mm]

nun weiß ich nicht, wie ich das Integral von sinx*cosx bilden kann.


Danke für Hilfe.

Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.



        
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Integralbestimmung: 2 Wege
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Fr 09.02.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Petite!


Heißt die Funktion nun [mm] $\sin(x)\red{*}\cos(x)$ [/mm] oder  [mm] $\sin(x)\red{+}\cos(x)$ [/mm] ?


Jedenfalls kannst Du das Integral [mm] $\integral{2*\sin(x)*\cos(x) \ dx}$ [/mm] auf zwei Wegen lösen.

Entweder durch die Substitution $t \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] oder durch das Additionstheorem [mm] $2*\sin(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(2x)$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner


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Integralbestimmung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 Fr 09.02.2007
Autor: Petite

Da ich ein Binom aufgelöst habe, müsste das ganze ja so erfolgen:

[mm] (sinx+cosx)^{2}=sin^{2}x+2*sinx*cosx+cos^{2}x [/mm]
da:
[mm] (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} [/mm]

Und leider versteh ich beide deiner Lösungsvorschläge nicht, erstrecht die mit dem Additionstheorem, wo doch keine Addition mehr vorkommt.

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Integralbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:51 Fr 09.02.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

wie bereits roadrunner und riwe frage auch ich:
welches Integral soll berechnet werden?

sinx*cosx, [mm] (sinx+cosx)^2, [/mm] sinx+cosx  ?

Ich blicke da nicht durch.

Gruß v. Angela

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Integralbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Fr 09.02.2007
Autor: Petite

Ich brauche nur das Integral von sinx * cosx.

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Integralbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Fr 09.02.2007
Autor: leduart

Hallo
Eigentlich hast dus jetzt schon MEHRFACH ueberlesen und die Antwort ist lange da:
Es gilt sinx*cosx=0,5*sin2x   hergeleitet aus Additionstheorem sin(x+x)
und sin2x kannst du wohl integrieren.
also naechstes mal posts genau lesen!
Gruss leduart

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Bezug
Integralbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Fr 09.02.2007
Autor: riwe


> Der Teil des Graphen der Funktion f(x)=sinx*cosx, der
> zwischen den Geraden mit den Gleichungen x=0 und
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}[/mm] liegt, rotiere um die x-Achse.
>  Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden
> Rotationskörpers.
>  Hier erstmal mein Ansatz:
>  
> [mm]V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sinx+cosx)^{2} dx}[/mm]
>  
> [mm]V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sin^{2}x+2sinx*cosx+cos^{2}x) dx}[/mm]
>  
> nach trigonometrischen Pythagoras: [mm]sin^{2}+cos^{2}=1[/mm]
>  [mm]V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+2sinx*cosx) dx}[/mm]
>  
> nun weiß ich nicht, wie ich das Integral von sinx*cosx
> bilden kann.
>  
>
> Danke für Hilfe.
>  
> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.


[mm] f(x)=sinx\cdot [/mm] cosx oder f(x) = sinx + cosx ???
werner

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Integralbestimmung: Binom
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Fr 09.02.2007
Autor: Petite

Musste doch als erstes das Binom auflösen: [mm] (sinx+cosx)^{2} [/mm]

[mm] (sinx+cosx)^{2}=(sin^{2}x+2sinx*cosx+cos^{2}x [/mm]
da
[mm] (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} [/mm]

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Bezug
Integralbestimmung: Funktion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 Fr 09.02.2007
Autor: clwoe

Hi,

ich glaube du weißt nicht was gemeint ist! Du hast dein f(x) geschrieben als f(x)=sin(x)*cos(x) und hinter deinem Integral hast du aber sin(x)+cos(x) geschrieben. Das hat doch nichts mit der binomischen Formel zu tun!!!

Vielleicht hast du dich schon von Anfang an verschrieben und dir so das Leben schwerer gemacht!

Gruß,
clwoe


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Integralbestimmung: Binom
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Fr 09.02.2007
Autor: Petite

Im Integral ist ein Binom

[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{((sinx+cosx)^{2}) dx} [/mm]

Und dieses Binom habe ich nun erstmal aufgelöst:

[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sin^{2}x+2sinx*cosx+cos^{2}x) dx} [/mm]

und da [mm] sin^{2}+cos^{2}=1 [/mm] nach meinen Tafelwerk sind, fass ich das zusammen, um es mir einfacher zu machen:

[mm] V=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+2sinx*cosx) dx} [/mm]

Das Integral von 1 kann ich selber noch bilden

f(x)=1 --> F(x)=x

weiß aber nicht, wie ich das Integral von 2sinx*cosx bilden kann.

f(x)=2sinx*cosx -->F(x)=?

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Bezug
Integralbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Fr 09.02.2007
Autor: schachuzipus

Hallo,

das sollte mit partieller Integration gehen:

[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(2sinxcosx) dx}=2*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(sinxcosx) dx} [/mm]

Mit sinx=v(x) und cos(x)=u'(x) und der Regel [mm] \integral{u'(x)*v(x) dx}=u(x)*v(x)-\integral{u(x)*v'(x) dx} [/mm] kannst du dein Integral bestimmen


Gruß

schachuzipus



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