Integralbeweis f(x)*g(x)=0 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 So 25.04.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Es seien a<b reelle Zahlen und f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion, so dass
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)*g(x) dx} [/mm] = 0
für alle stetigen Funktionen [mm] g:[a,b]\to \IR [/mm] mit g(a)=0=g(b) gilt.
Beweisen Sie f(x)=0, [mm] x\in [/mm] [a,b] folgt. |
Ich will nun hierzu einen Widerspruchsbeweis machen.
Das heißt, ich gehe davon aus, dass f(x) stetig ist im gewähltem Intervall und das ein [mm] x_{o} \in [/mm] [a,b] existiert mit [mm] f(x_{0}) \not=0. [/mm] Dies führt laut ZWS dazu, dass eine Umgebung um [mm] x_{0} [/mm] existiert, dessen Abbildung ebenfalls [mm] \not=0 [/mm] ist.
Nun ist mein Gedanke eine geeignete Funktion für g(x) zu finden, die eindeutig zeigt, dass es hierzu keine andere Möglichkeit für die Wahl von f(x) geben kann als f(x)=0, um das geforderte zu erreichen, als f(x)=0.
Meine Frage ist nun, ob mir jemand einen Tipp für g(x) geben kann. Oder auch noch Tipps für die Beweisführung. Von meinem Tutor hab ich nun den Tipp bekommen, dass es ein g(x) geben kann, welches nicht nur an den Punkten a und b =0 ist.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es seien a<b reelle Zahlen und f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] eine stetige
> Funktion, so dass
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)*g(x) dx}[/mm] = 0
> für alle stetigen Funktionen [mm]g:[a,b]\to \IR[/mm] mit
> g(a)=0=g(b) gilt.
> Beweisen Sie f(x)=0, [mm]x\in[/mm] [a,b] folgt.
> Ich will nun hierzu einen Widerspruchsbeweis machen.
> Das heißt, ich gehe davon aus, dass f(x) stetig ist im
> gewähltem Intervall und das ein [mm]x_{o} \in[/mm] [a,b] existiert
> mit [mm]f(x_{0}) \not=0.[/mm] Dies führt laut ZWS dazu, dass eine
> Umgebung um [mm]x_{0}[/mm] existiert, dessen Abbildung ebenfalls
> [mm]\not=0[/mm] ist.
Gute Idee ! Wir können [mm] f(x_0) [/mm] > 0 annehmen. Dann gibt es u,v [mm] \in [/mm] [a,b] mit
u<v und f(x) > 0 in [u,v]
Setze nun
$g(x) = [mm] (x-u)^2(x-v)^2$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] [u,v]
und
$g(x) = 0$ für x [mm] \in [/mm] [a,b] \ [u,v]
FRED
> Nun ist mein Gedanke eine geeignete Funktion für g(x) zu
> finden, die eindeutig zeigt, dass es hierzu keine andere
> Möglichkeit für die Wahl von f(x) geben kann als f(x)=0,
> um das geforderte zu erreichen, als f(x)=0.
>
> Meine Frage ist nun, ob mir jemand einen Tipp für g(x)
> geben kann. Oder auch noch Tipps für die Beweisführung.
> Von meinem Tutor hab ich nun den Tipp bekommen, dass es ein
> g(x) geben kann, welches nicht nur an den Punkten a und b
> =0 ist.
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
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