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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:44 So 05.09.2004 | | Autor: | Serhat |
Hallo,
ich bin hier ganz neu...Ich habe hier verschiedene Beiträge über unterschiedliche Fragen der Mathematik mit sehr großem Interesse gelesen. Meine Frage ist folgendes: Wir haben schon in der Schule gelernt, wie man integriert. Nach einer Weile aber habe ich von Lebesque Integralen oder Stilijets Integralen gehört. Warum eigentlich? Wann ist Riemansches Integral nicht ausreichend? Was haben die anderen mehr und wie sind deren Grund Ideen?
Ich danke für eure Antworten im voraus...
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 So 05.09.2004 | | Autor: | dieter |
Hi!
Erstmal: Dein Frage gehört eigentlich in das Forum Uni-Analysis.
Dann versuche ich mal ein bisschen was zu deiner Frage zu sagen:
Das Lebesgue-Integral verallgemeinert das Riemann-Integrall vor allem dahingehend, dass es mehr integrierbare Funktionen gibt. Beispielsweise ist nun die Funktion f(x)=0 für $x [mm] \in \IR [/mm] / [mm] \IQ$ [/mm] und f(x)=1 für [mm] $x\in \IQ$ [/mm] ist Lebesgue-integrierbar (das Integral ist = 0) aber nicht Riemann-integrierbar.
Außerdem können mit Hilfe der Lebesgueschen Integrationstheorie Sätze wie etwas der Satz von Fubini oder Sätze über Vertauschbarkeint von Integration und Grenzwertbildung unter wesentlich allgemeineren Vorraussetzungen als für das Riemann-Integral bewiesen werden.
Die grobe Idee der Lebesgueschen Theorie ist, dass man nicht die Menge über der Man integriert in endlich viele Intervalle (bzw. Quader im mehrdimensionalen) einteilt, sondern statt Intervallen beliebe sogennannte "messbare Mengen" zulässt. Das Integral nähert man dann nicht durch Treppenfunktionen (das heißt Funktionen, die auf jedem der Intervalle konstant sind) sondern Stufenfunktionen, die auf einer jeweils messbaren Menge konstant sind, an.
Details dazu findest du in Lehrbüchern zur Maß-und Integrationstheorie und mit Sicherheit auch im Internet.
Das Stieltjets-Integral ist ähnlich wie das Riemann Integral, nur, dass es zusätzlich noch eine Funktion [mm] $\alpha$ [/mm] gibt, und die Riemannsummen durch
$ [mm] \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(\alpha(t_i)-\alpha(t_{i-1})$
[/mm]
ersetzt werden, so dass das Riemann Integral ein Spezialfall davon mit [mm] $\alpha=id$ [/mm] ist.
Gruß
dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Sa 11.09.2004 | | Autor: | Serhat |
Hallo Dieter,
weil ich hier neu bin, konnte natürlich nicht wissen, wie so alles hier läuft..Ich danke für deine Antwort.. Nun muss ich natürlich darüber denken , wie Mengen gemessen werden?
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