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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Folgende Aufgabe habe ich zu lösen:
| Aufgabe | Sei [mm] f:[0,1]\to\IR [/mm] stetig.
Zeige, [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{f(\sin(t)) dt}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{f(\cos(t)) dt} [/mm] |
Könnte mir da vielleicht jemand einen kleinen Tipp geben?
Wäre super klasse!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
mir ist gerade noch ne Idee gekommen:
Eine Funktion ist nicht gegeben, du weist nur, dass diese stetig ist...
Nehmen wir an, die Funktion laute erst einmal f(x).
Nun wird in deinem Integral das x durch sin(t) bzw cos(t) ausgetauscht.
Jetzt könntest du ja mal wieder substituieren, und sagen: x=cos(t), und dann mit Hilfe der Substitutionsregel arbeiten, und dann mal die Grenzen einsetzten, und gucken, ob das tatsächlich gleich ist.
LG
Kroni
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[mm] sin(t)=cos(\pi [/mm] /2-t).
setze nun noch [mm] x=\pi [/mm] /2-t, wende die Substitutionsregel an und du erhältst die rechte Seite mit x statt t. Nun für x t einsetzen (keine Rücksubstitution, nur Tausch des Variablennamens).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Das habe ich mir gedacht... Blöde Substitution... Damit kmme ich nicht so klar. Könnt mir nicht nen Anfang der Aufgabe liefern dann versuche ich den Rest und frag am Ende nach ob ich das richtig gemacht habe ok?
Wäre super!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Engel!
KJKweseleit hat es im Grunde doch schon alles "verraten":
$\integral_0^{\bruch{\pi}{2}}{f(\red{\sin(t)}) \ dt} \ = \ \integral_0^{\bruch{\pi}{2}}{f(\red{\cos(\pi/2-t)}) \ dt}$
Nun die Substitution $x \ := \ \bruch{\pi}{2}-t$ $\Rightarrow$ $dt \ = \ -dt$ einschließlich Substitution der Grenzen:
$x(0) \ = \ \bruch{\pi}{2}-0 \ = \ \bruch{\pi}{2}$
$x\left(\bruch{\pi}{2}}\right) \ = \ \bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2} \ = \ 0$
Damit erhältst Du doch folgendes Integral:
$\integral_{\bruch{\pi}{2}}^0{-f(\cos(x)) \ dx} \ = \ -\integral_{\bruch{\pi}{2}}^0{f(\cos(x)) \ dx}$
Und was passiert mit dem Integral (bzw. seinem Vorzeichen), wenn man die Integrationsgrenzen vertauscht?
Und damit bist Du fertig ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Die Minuszeichen fallen doch weg nicht wahr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Du meinst wohl das Richtige ...
Wegen [mm] $\integral_a^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\integral_b^a{f(x) \ dx}$ [/mm] heben sich die beiden Minuszeichen auf.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Ja genau das meinte ich ja ... 
Aber ist dann da nicht ein schreibfehler drin....?
Weil da steht auf der linken Seite bei dir am Ende cos aber sollte da nicht sin stehen?
Nur so ne Frage vielleicht vertu ich mich ja auch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Ich weiß jetzt nicht genau, welche Stelle Du meinst ...
Aber wir haben doch gleich zu Beginn aus dem [mm] $\sin(t)$ [/mm] in [mm] $\cos(\pi/2-t)$ [/mm] umgewandelt. Von daher ist das mit [mm] $\cos(...)$ [/mm] schon richtig so.
Zudem haben wir damit doch auch genau die gewünschte gleichheit erreicht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Stimmt ja das hatte ich nicht beachtet!
Dankeschön!
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