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Forum "Integration" - Integrale
Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integrale: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Di 22.01.2008
Autor: ahead

Hallo,

ich muss mich derzeit für die Klausuren vorbereiten und komme bei folgenden Aufgaben nicht weiter:

Erstmal soll ich die Fläche der Funktion 0,5(ln x)² - ln x = 0 berechnen.
Habe aber keine Ahnung wie ich 0,5(ln x)²  integrieren soll.

Was mir auch Schwierigkeiten bereitet, ist die Integration der unecht gebr. rat. Funtkion:

(x²-4)/(x-5)=0

Ich denke, dass ich erstmal eine Polynomdivision machen muss, um zwei funktionen zu erhalten. Aber muss ich dann mit dem Rest was übrig bleibt (5x-4/(x-5) eine Partialbruchzerlegung machen um die anschließende Fläche zu berechnen????

Wäre sehr dankbar über  einen guten Tipp!!!

MfG Pete

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
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Integrale: zur 2. Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Di 22.01.2008
Autor: Roadrunner

Halo Pete,

[willkommenmr] !!


Wenn Du für eine gebrochen-rationale Funktion die MBPolynomdivision durchführst, solltest Du diese soweit führen, bis der Zählergrad echt kleiner ist als der Nennergrad.

Das heißt hier:  [mm] $\bruch{x^2-4}{x-5} [/mm] \ = \ [mm] x+5+\bruch{21}{x-5} [/mm] \ = \ [mm] x+5+21*\bruch{1}{x-5}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


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Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Di 22.01.2008
Autor: ahead

jetzt passt das ergebnis. danke! mir war die mehrmalige polynomdivision und die darauf folgende "aneinanderkettung" der ergebnisse nicht bekannt.

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Integrale: zur 1. Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Di 22.01.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Pete!


Den Term [mm] $\ln^2(x)$ [/mm] kannst Du mittels partieller Integration lösen:
[mm] $$\integral{\ln^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\underbrace{\ln(x)}_{= \ u}*\underbrace{\ln(x)}_{= \ v'} \ dx} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß vom
Roadrunner


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Integrale: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:47 Di 22.01.2008
Autor: ahead

Danke erstmal, aber ich sollte doch versuchen, dass bei der partiellen Integration ein x herausfällt. Aber das ist in diesem Falle doch gar nicht möglich, oder?

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Integrale: in Formel einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Di 22.01.2008
Autor: Roadrunner

Hallo ahead!


Hast Du denn mal $u'_$ und $v_$ ermittelt und dann in die Formel für die partielle Integration eingesetzt?

Denn da kürzt sich doch einiges weg.


Gruß vom
Roadrunner


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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Di 22.01.2008
Autor: ahead

nun steht im integral hinten 0,5x(lnx-1)  <--- wie wird ln x zum zweiten mal integriert???

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Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Di 22.01.2008
Autor: Steffi21

Hallo, wo hast du 0,5x her?

u=ln(x)

[mm] u'=\bruch{1}{x} [/mm]

v'=ln(x)

v=x*ln(x)-x

somit

[mm] ln(x)*(x*ln(x)-x)-\integral_{}^{}{ (x*ln(x)-x)*\bruch{1}{x}dx} [/mm]

Steffi

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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Di 22.01.2008
Autor: ahead

hi steffi,

die 0,5 kommen von meiner Funktion 0,5 (lnx)². Soweit wie du geschrieben hast komme ich auch, ich frage mich nur,wie ich den hinteren Teil der noch da steht integriere???





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Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Di 22.01.2008
Autor: Steffi21

Hallo, es ging doch aber erst einmal um die Teilaufgabe [mm] \integral_{}^{}{ln(x)*ln(x) dx} [/mm]

zu deinem Problem

[mm] -\integral_{}^{}{ (x\cdot{}ln(x)-x)\cdot{}\bruch{1}{x}dx} [/mm]

du multiplizierst mit [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

[mm] -\integral_{}^{}{ln(x)-1 dx}# [/mm]

ln(x) haben wir vorhin schon integriert: x*ln(x)-x und 1 integriert ist x

passe aber jetzt auf die Vorzeichen auf, vor der Klammer steht noch dein -

somit:

[mm] \integral_{}^{}{ln(x)*ln(x) dx} [/mm]

=ln(x)*(x*ln(x)-x)-(x*ln(x)-x-x)

[mm] =x*ln^{2}(x)-x*ln(x)-x*ln(x)+2x [/mm]

[mm] =x*ln^{2}(x)-2*x*ln(x)+2x [/mm]

Steffi





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Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 Mi 23.01.2008
Autor: ahead

danke dir, jetzt hab ich es kapiert!

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