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Integrale: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Mo 23.05.2005
Autor: Maiko

Hallo!

Ich habe mal zwei Fragen zu Integralberechnungen:

[]1.Integral

[]2.Integral

Lösung 1. Integral:
F(x) = -x + ln [mm] \wurzel{|e^{2x}-1|} [/mm]

Lösung 2. Integral:
F(x) = 1/sin(x) - [mm] 1/3sin^{3}(x) [/mm]

Wo hab ich denn hier einen Fehler gemacht?
Ich bin doch auch mit den richtigen Substitutionen an die Aufgaben gegangen oder? Vielleicht könntet ihr mir mal helfen?

Außerdem hätte ich nochmal eine Frage zu folgenden Scriptausschnitt:
[]Script
Auf Seite 3: Wo ist der Unterschied zwischen R(sinx,cosx) und R(cosx)sinx?
Könntet ihr das mal bitte mit einem Beispiel unterlegen?

Das wäre klasse.
Grüße,
Maik

        
Bezug
Integrale: Kontrolle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Mo 23.05.2005
Autor: MathePower

Hallo Maiko,

> []1.Integral
>  
> []2.Integral
>  
> Lösung 1. Integral:
>  F(x) = -x + ln [mm]\wurzel{|e^{2x}-1|}[/mm]

richtig.

>  
> Lösung 2. Integral:
>  F(x) = 1/sin(x) - [mm]1/3sin^{3}(x)[/mm]

Das stimmt auch.

>  
> Wo hab ich denn hier einen Fehler gemacht?

Du hast keinen Fehler gemacht.

>  Ich bin doch auch mit den richtigen Substitutionen an die
> Aufgaben gegangen oder? Vielleicht könntet ihr mir mal
> helfen?

Durch Umformen des zweiten Integrals kann man sich die Arbeit leichter machen.

>  
> Außerdem hätte ich nochmal eine Frage zu folgenden
> Scriptausschnitt:
>   []Script
>  
> Auf Seite 3: Wo ist der Unterschied zwischen R(sinx,cosx)
> und R(cosx)sinx?
>  Könntet ihr das mal bitte mit einem Beispiel unterlegen?
>  

Nun, das beste Beispiel ist das zweite von Dir angegeben Integral.

[mm]\int {\frac{{\cos ^3 x}} {{\sin ^4 x}}\;dx} [/mm] ist von der Gestalt [mm] \int {R(\sin \;x,\;\cos \;x)\;dx} [/mm]

Durch Vereinfachung dieses Integrals folgt dann [mm] {\int {\frac{{\cos \;x}} {{\sin ^4 x}}\; - \;\frac{{\cos \;x}} {{\sin ^2 \;x}}\;dx} }[/mm], welches von der Gestalt [mm]\int {R(\sin \;x)\;\cos \;x\;dx} [/mm] ist.

Gruß
MathePower




Bezug
                
Bezug
Integrale: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Mi 25.05.2005
Autor: Maiko

Hey!

> Lösung 1. Integral:
>  F(x) = -x + ln $ [mm] \wurzel{|e^{2x}-1|} [/mm] $

> richtig.

> Lösung 2. Integral:
>  F(x) = 1/sin(x) - $ [mm] 1/3sin^{3}(x) [/mm] $

> Das stimmt auch.


Leider habe ich vergessen hin zu schreiben, dass die Lösung, die ich unter die Links für das erste und zweite Integral geschrieben habe, die Musterlösungen sind. Auf diese bin ich leider nicht gekommen, deshalb habe ich meine Lösungen eingescannt, damit ihr mal schauen könnt, wo der Fehler liegt.


  

> Außerdem hätte ich nochmal eine Frage zu folgenden
> Scriptausschnitt:
>   []Script
>  
> Auf Seite 3: Wo ist der Unterschied zwischen R(sinx,cosx)
> und R(cosx)sinx?
>  Könntet ihr das mal bitte mit einem Beispiel unterlegen?
>  

> Nun, das beste Beispiel ist das zweite von Dir angegeben Integral.

>$ [mm] \int {\frac{{\cos ^3 x}} {{\sin ^4 x}}\;dx} [/mm] $ ist von der Gestalt $ [mm] \int [/mm]
[mm] >{R(\sin \;x,\;\cos \;x)\;dx} [/mm] $

>Durch Vereinfachung dieses Integrals folgt dann $ [mm] {\int {\frac{{\cos \;x}} >{{\sin ^4 x}}\; - \;\frac{{\cos \;x}} {{\sin ^2 \;x}}\;dx} } [/mm] $, welches
>von der Gestalt $ [mm] \int {R(\sin \;x)\;\cos \;x\;dx} [/mm] $ ist.

Könnte das vielleicht nochmal jmd. näher erläutern. Wo liegt denn nun der genaue Unterschied? Was bedeuten eigentlich die Schreibweisen
$ [mm] \int {R(\sin \;x,\;\cos \;x)\;dx} [/mm] $
und
$ [mm] \int {R(\sin \;x)\;\cos \;x\;dx} [/mm] $?

Bezug
                        
Bezug
Integrale: Erklärungsversuch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Mi 25.05.2005
Autor: MathePower

Hallo Maiko,


> Könnte das vielleicht nochmal jmd. näher erläutern. Wo
> liegt denn nun der genaue Unterschied? Was bedeuten
> eigentlich die Schreibweisen
>  [mm]\int {R(\sin \;x,\;\cos \;x)\;dx}[/mm]

Nun, dieses R ist eine Funktion in [mm]\sin\; x[/mm] und [mm]\cos\;x[/mm].

>  und
>  [mm]\int {R(\sin \;x)\;\cos \;x\;dx} [/mm]?

Dieses R ist eine Funktion nur in [mm]\sin\; x[/mm] .

Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Integrale: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:38 So 29.05.2005
Autor: Maiko


> Könnte das vielleicht nochmal jmd. näher erläutern. Wo
> liegt denn nun der genaue Unterschied? Was bedeuten
> eigentlich die Schreibweisen
>  $ [mm] \int {R(\sin \;x,\;\cos \;x)\;dx} [/mm] $

> Nun, dieses R ist eine Funktion in $ [mm] \sin\; [/mm] x $ und $ [mm] \cos\;x [/mm] $.

>  und
>  $ [mm] \int {R(\sin \;x)\;\cos \;x\;dx} [/mm] $?

> Dieses R ist eine Funktion nur in $ [mm] \sin\; [/mm] x $ .

Leider bin ich noch immer nicht hinter die Bedeutung gestiegen.
Könnte jmd. nochmal versuchen andere Beispiele darzubieten, damit das ganze bei mir einleuchtet?
Eine etwas ausführlichere Erläuterung wäre wünschenswert.

Danke.
Grüße,
Maik

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Bezug
Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 So 29.05.2005
Autor: Paulus

Hallo Maiko

$R(u)$ ist eine rationale Funktion der Variablen u. Du darfst also im Zähler und im Nenner beliebige Polynome mit der Variable $u$ bilden, zum Beispiel:

[mm] $\bruch{7u^4-3u^2+9u-4}{4u^3-u^2+3}$ [/mm]

Entsprechend für [mm] $R(\sin [/mm] x)$:

[mm] $\bruch{7\sin^4x-3\sin^2x+9\sin x-4}{4\sin^3x-\sin^2x+3}$ [/mm]

Bei $R(u,v)$ ist es genau das Gleichen, zum Beispiel

[mm] $\bruch{7u^4v^2-3u^2+9u+8v-4}{4u^3-v^2-uv+3}$ [/mm]

Für [mm] $R(\sin x,\cos [/mm] x)$ sollte das also klar sein.

$R(sin [mm] x)\cos [/mm] x$ heisst etwas ausführlicher: $R(sin [mm] x)*\cos [/mm] x$

Also eine Rationale Funktion in Sinus x, und das Ganze multipliziert mit Cosinus x, zu Beispiel:

[mm] $\bruch{7\sin^4x-3\sin^2x+9\sin x-4}{4\sin^3x-\sin^2x+3}*\cos [/mm] x$

Ist es jetzt etwas klarer geworden?

Mit lieben Grüssen

Paul


Bezug
                                                
Bezug
Integrale: Viel klarer
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 So 29.05.2005
Autor: Maiko

Hey Paulus.

Auch nochmal großen Dank an dich für diese Antwort.
Es ist wirklich viel klarer geworden, da deine Beispiele, die für mich sehr wichtig sind, sehr anschaulich waren.

Danke!! :-)

Bezug
                                                        
Bezug
Integrale: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 So 29.05.2005
Autor: Maiko

Dann müsste ich ja laut Script (siehe 1. Post) bei folgendem Integral:

[mm] \integral_{}^{} {\bruch{cos(x)^3}{sin(x)^4} dx} [/mm]

mit den Substitutionen

t=tan(x/2)

dx= 2 / [mm] (1+t^2) [/mm]

sinx = 2t / [mm] (1+t^2) [/mm]

cosx = [mm] 1-t^2 [/mm] / [mm] (1+t^2) [/mm]

zum Ziel kommen oder?

Leider ist mir das bei meinen ersten Versuchen (siehe 1. Post) nicht gelungen...

Bezug
                                                                
Bezug
Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 So 29.05.2005
Autor: banachella

Hallo!

Deine Substitution stimmt wohl, zumindest komme ich auf (fast) das gleiche Ergebnis: Du hast in der letzten Zeile den Faktor 2 vergessen. Die Stammfunktion von diesem Ausdruck zu berechnen ist relativ einfach. Jetzt musst du für $t$ wieder [mm] $\tan\left(\bruch{x}{2}\right)$ [/mm] einsetzen! Und kräftig die Additionstheoreme benutzen.

Einfacher geht's aber, wenn du die Zerlegung von Mathepower benutzt. Dann substuierst du einmal [mm] $t=\sin(x)^3$ [/mm] und einmal [mm] $s=\sin(x)$! [/mm]

Gruß, banachella


Bezug
                                                                        
Bezug
Integrale: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 Mi 01.06.2005
Autor: Maiko

Danke für deine Hilfe. Habs gelöst.

Auch wenn ich nach dem ich die ganzen Tangense dastehen hatte, den Taschenrechner das ganze zusammenfassen ließ ;-)

Normalerweise hätte ich ja aber schon mit den Tangensen die richtige Lösung gehabt. So ist es also nur eine Verschönerung.

Bezug
        
Bezug
Integrale: 1. Aufg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Mi 25.05.2005
Autor: leduart

Hallo
Dein 1. Aufg. ist richtig, bis auf den Umgang mit dem Absolutzeichen [mm] \bruch{|a|}{|b|}=\left|\bruch{a}{b}\right| [/mm]
und [mm] |1-a^{2}|=|a^{2}-1| [/mm]  Wenn du also all die Umformungen wo mal ein Betrag steht und mal nicht, weglässt hast du das geforderte Ergebnis. aus dem ersten Ausdruck Zeile 2
durch deine Substitution in der 2. Aufgabe durchzusteigen, dauer mir zu lange, hast du den zurücksubst. und alle Verknüpfungen zw. den Winkelfunktionen wieder benutzt? bis Ende deiner Aufzeichnungen hab ich beim flüchtigen drüber gucken keinen fehler gesehen. Diferenzier einfach dein Ergebnis und prüf dadurch nach!
F(x,y) und x*F(y) sind ein Unterschied. Beim ersten kann man im allgemeinen x nicht ausklammern und es bleibt eine Fkt, die nur von y abhängt übrig. ob jetzt x und y sinx und cosx sind ist doch egal .
Das Beispiel in der anderen Antwor zeigt das doch noch mal.
Gruss leduart

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