Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Mo 30.05.2005 | | Autor: | hooover |
einen schönen guten abend an alle,
ich habe hier noch eine klausuraufgabe, die ich leider nicht lösen konnte
ich bedanke mich jetzt schon mal für eure antworten
Für welchen wert von "m" sind beide flächen gleich groß?
f1(x)= mx
f2(x)= [mm] -x^2+4x
[/mm]
eine skizze war auch gegeben
f1(x) geht durch den ursprung und
f2(x) geht durch den ursprung hat ein maximun bei (2/4) und die 2. nullstelle bei x=4
ja mein ansatz war auch schon falsch ich weiß nur das man hier die schnittpunkte brauch aber das wars auch schon.
vielen dank für eure hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 30.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Für welchen wert von "m" sind beide flächen gleich groß?
>
> f1(x)= mx
>
> f2(x)= [mm]-x^2+4x[/mm]
Das sind Funktionen und keine Flächen - sollst du den Inhalt zwischen den Funktionen bestimmen? Wenn ja: auf welchem Intervall? So, wie du es geschrieben hadt, kann man die Aufgabe nicht lösen.
SEcki
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Ich denke die Integrationsgrenzen sind von 0 bis 4 gesetzt.
Ist dies der Fall ist A = 10 2/3 FE
Ich muss dazusagen dass ich sehr verquere Gedankengänge habe und es bestimmt auch schnellere Lösungsmöglichkeiten gibt.
Also:
1. Überlegung: f1(x) ist eine Gerade. Mit der Integrationsgrenze 4 bildet sich also ein Dreieck welches den oben ausgerechneten Flächeninhalt hat
u = 4
A = 1/2 * u * v
v = 5 1/3
Daraus folgt: f1(x) trifft an der Integrationsgrenze auf den Punkt P (4|5 1/3
m = y/x
m = 5 1/3 : 4 = 1 1/3
Daraus folgt:
f1(x) = 1 1/3x
Dürfte passen =)
Grüssle
Michel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Di 31.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, ich nehme mal an, dass es um die folgende Frage geht:
Für welches $m [mm] \in \IR$ [/mm] ist
[mm] $\int\limits_{0}^4 (-x^2+4x)\, [/mm] dx = [mm] \int_0^4 mx\, [/mm] dx$.
Willst du das mal versuchen?
Beide Seiten ausrechnen und dann nach $m$ auflösen...
Ich warte auf deinen Rechenweg, damit ich ihn kontrollieren und dir dabei dann helfen kann... 
Bis später!
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Di 31.05.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Julius!
Hast Du Dir auch mal die Anlage zur Frage angesehen  ?
Folgende Flächen sind wohl gemeint:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Di 31.05.2005 | | Autor: | hooover |
Nullstellen:
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] x_{2}=4
[/mm]
Schnittpunkte:
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] x_{2}=4-m
[/mm]
Flächeninhalt:
[mm] \integral_{0}^{4-m} {f(x^2-4x+mx) dx}
[/mm]
Aufleitung:
F(x)= [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} mx^2
[/mm]
so jetzt einsetzen
F(0)=0
F(4)= [mm] \bruch{65}{3}
[/mm]
[F(4)-F(0)]
A= [mm] \bruch{65}{3} [/mm] FE
wenn das jetzt alles richtig sein sollte müßte ich ja nur noch irgendwie die fläche gleich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] setzen, oder?
naja etwas hilfe brauch ich schon noch.
vielen dank
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Hallo hooover!
> Nullstellen:
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
> [mm]x_{2}=4[/mm]
>
> Schnittpunkte:
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
> [mm]x_{2}=4-m[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Um nun die beiden Flächen zu berechnen, solltest Du folgendermaßen vorgehen:
[mm] $A_1 [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \integral_{0}^{4-m} {f(x) - g(x) \ dx} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{4-m} {\blue{f(x)} - \red{g(x)} \ dx}$
[/mm]
[mm] $A_2 [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \integral_{4-m}^{4} {f(x) - g(x) \ dx} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \integral_{4-m}^{4} {\red{g(x)} - \blue{f(x)} \ dx}$
[/mm]
In beiden Integralen wird dann immer noch der Parameter $m$ auftauchen. Dieser kann dann ermittelt werden durch Gleichsetzen der beiden Flächen [mm] $A_1 [/mm] \ = \ [mm] A_2$
[/mm]
> Flächeninhalt:
>
> [mm]\integral_{0}^{4-m} {f(x^2-4x+mx) dx}[/mm]
>
> Aufleitung:
>
> F(x)= [mm]\bruch{1}{3} x^3[/mm] - [mm]2x^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} mx^2[/mm]
>
> so jetzt einsetzen
>
> F(0)=0
>
> F(4)= [mm]\bruch{65}{3}[/mm]
Warum setzt Du denn hier jetzt 4 ein?
Deine obere Grenze lautet doch (4-m).
Kommst Du mit diesen Hinweisen etwas weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 31.05.2005 | | Autor: | hooover |
stimmt da hast du recht, ich hab da wohl was übersehen
aslo:
[mm] \integral_{0}^{4-m} {f(x^2-4x+mx) dx}
[/mm]
F(x)= [mm] \bruch{1}{3}x^3-2x^2+ \bruch{1}{2}mx^2
[/mm]
F(0)=0
F(4-m)= [mm] \bruch{1}{3}(4-m)^3-2(4-m)^2+ \bruch{1}{2}m(4-m)^2
[/mm]
das wird jetzt ein ganz schöner friedhof, ich las mal die zwischen schritte weg, denke aber das ich hier was falsch mache
A = [mm] \bruch{32}{3}+8m- \bruch{41}{6}m^2- \bruch{1}{3}m^3 [/mm] FE
das kann ich auch nicht mehr vereinfachen
bevor ich weiter mache sag mir mal bitte ob ich auf dem richtigen weg bin
danke schon mal
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:45 Di 31.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Hoover,
das Integral muss wohl
[mm] $\int_0^{4-m} \left( f(x)-g_m(x)\right) dx=\int_0^{4-m}\left(-x^2+4-mx\right)dx$ [/mm] heißen, da $f$ doch über [mm] $g_m$ [/mm] im Intervall $[0;4-m]$ liegt.
Damit ist deine Stammfunktion für das andere Intervall richtig. Hier müsstest du noch alle Vorzeichen ändern.
> F(4-m)= [mm]\bruch{1}{3}(4-m)^3-2(4-m)^2+ \bruch{1}{2}m(4-m)^2[/mm]
Wenn ich $F(4-m)$ auflöse - selbst bei deiner falschen Stammfunktion - erhalte ich aber etwas anderes. Ist aber wie gesagt egal, da du ja einen Vorzeichenfehler hast.
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mi 01.06.2005 | | Autor: | hooover |
> Hallo Hoover,
>
> das Integral muss wohl
>
> [mm]\int_0^{4-m} \left( f(x)-g_m(x)\right) dx=\int_0^{4-m}\left(-x^2+ 4-mx\right)dx[/mm]
> heißen, da [mm]f[/mm] doch über [mm]g_m[/mm] im Intervall [mm][0;4-m][/mm] liegt.
>
>
die stammfunktion erhalte ich doch wenn ich die schnittpunkte ausrechne
also
[mm] mx=-x^2+4x [/mm] /+ [mm] x^2 [/mm] -4x
[mm] x^2 [/mm] -4x+ mx =0
usw.
also lautet sie stammfunktion doch
[mm] f(x)=x^2- [/mm] 4x +mx
>
oder mache ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Hoover,
> > Hallo Hoover,
> >
> > das Integral muss wohl
> >
> > [mm]\int_0^{4-m} \left( f(x)-g_m(x)\right) dx=\int_0^{4-m}\left(-x^2+ 4[red] x [/red]-mx\right)dx[/mm]
> > heißen, da [mm]f[/mm] doch über [mm]g_m[/mm] im Intervall [mm][0;4-m][/mm] liegt.
> >
> >
>
> die stammfunktion erhalte ich doch wenn ich die
> schnittpunkte ausrechne
Nein! Wenn du die Schnittpunkte ausrechnest erhälst du die hier Grenzen des Integrals
>
> also
>
> [mm]mx=-x^2+4x[/mm] /+ [mm]x^2[/mm] -4x
> [mm]x^2[/mm] -4x+ mx =0
[mm] x= 0 \ wedge x = 4 - m [/mm]
>
> usw.
>
> also lautet sie stammfunktion doch
>
> [mm]f(x)=x^2-[/mm] 4x +mx
Das ist noch nicht die Stammfunktion, sondern die Funktion [mm] - f(x) + g_m(x) [/mm]
> >
> oder mache ich da was falsch?
Da verwechselst du was.
Wenn du die Fläche zwischen zwei Kurven berechnen willst, subtrahierst du von der Funktion zur oberen Kurve die Funktion zur unteren Kurve und berechnest das Integral dieser Differenzfunktion, also genauso, wie es Max gemacht hat (er hat nur bei der 4 das x vergessen)
Im Intervall [4-m; 4] liegt die Gerade über der Parabel, d.h. hier bildest du das Integral
[mm] \integral_{4-m}^{4} {g_m(x) - f(x) dx} [/mm]
[mm] = \integral_{4-m}^{4} {mx + x^2 - 4x dx} [/mm]
Versuch's jetzt weiter
Gruß
Sigrid
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mi 01.06.2005 | | Autor: | hooover |
also nochmal
wenn
[mm] f(x)=-x^2+4x-mx [/mm] dann;
F(x)= [mm] -\bruch{1}{3}x^3+2x^2- \bruch{1}{2}mx^2
[/mm]
F(4) = - [mm] \bruch{32}{3}+8m
[/mm]
F(4-m)= 32-6m- [mm] \bruch{9}{4}m^2- \bruch{1}{2}m^3
[/mm]
|F(4-m) - F(4)|
|(32-6m- [mm] \bruch{9}{4}m^2- \bruch{1}{2}m^3) [/mm] - [mm] (\bruch{32}{3}+8m)|
[/mm]
| [mm] \bruch{128}{3}-14m- \bruch{9}{4}m^2- \bruch{1}{2}m^3 [/mm] |
A= [mm] \bruch{128}{3}-14m- \bruch{9}{4}m^2- \bruch{1}{2}m^3 [/mm] FE
aber was soll ich damit
das kann doch nicht stimmen!!!!!
soll ich villeicht mal meine zwischenschritte posten?
die aufgabe war: für welchen wert von m sind beiden flächen gleich groß
das muß doch einfacher sein als ich das hier mache
ich geh noch kaputt an dem ding!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Fugre |
> also nochmal
>
> wenn
>
> [mm]f(x)=-x^2+4x-mx[/mm] dann;
>
> F(x)= [mm]-\bruch{1}{3}x^3+2x^2- \bruch{1}{2}mx^2[/mm]
>
>
> F(4) = - [mm]\bruch{32}{3}+8m[/mm]
>
> F(4-m)= 32-6m- [mm]\bruch{9}{4}m^2- \bruch{1}{2}m^3[/mm]
>
> |F(4-m) - F(4)|
>
> |(32-6m- [mm]\bruch{9}{4}m^2- \bruch{1}{2}m^3)[/mm] -
> [mm](\bruch{32}{3}+8m)|[/mm]
>
> | [mm]\bruch{128}{3}-14m- \bruch{9}{4}m^2- \bruch{1}{2}m^3[/mm] |
>
> A= [mm]\bruch{128}{3}-14m- \bruch{9}{4}m^2- \bruch{1}{2}m^3[/mm]
> FE
>
> aber was soll ich damit
>
> das kann doch nicht stimmen!!!!!
>
> soll ich villeicht mal meine zwischenschritte posten?
>
> die aufgabe war: für welchen wert von m sind beiden flächen
> gleich groß
>
> das muß doch einfacher sein als ich das hier mache
>
> ich geh noch kaputt an dem ding!
>
>
>
Hi Hoover,
wenn deine Funktion [mm] $f(x)=-x^2+4x-mx$ [/mm] ist, dann kannst
du es auch etwas anders schreiben, nämlich: [mm] $f(x)=-x^2+x(4-m)$
[/mm]
Du kannst natürlich auch erst bei der Stammfunktion umformen, egal
wann du umformst, du erhältst: [mm] $F(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2(4-m)$.
[/mm]
Suchs du $F(4-m)$, so erhältst du [mm] $F(4-m)=-\frac{1}{3}(4-m)^3+\frac{1}{2}(4-m)^2*(4-m)$
[/mm]
[mm] $\to F(4-m)=\frac{1}{6}(4-m)^3$
[/mm]
[mm] $\to F(4)=-21\frac{1}{3}+8(4-m)$
[/mm]
Wenn bis hier alles richtig ist, dann ist die Lösung nicht sehr schwer, denn die Differenz von
$F(4-m)-F(m)$ ist null, wenn $m=0$ ist, denn dann gilt $F(4)-F(4)=0$.
Ich habe die Rechnung bis hier allerdings nicht überprüft.
Liebe Grüße
Fugre
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Do 02.06.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Hoover,
nur nicht verzweifeln. Du kommst bestimmt noch noch an die Lösung.
Nochmal zum Ansatz:
Du suchst ein m, so dass
[mm] \integral_{0}^{4-m} {(mx + x^2 - 4x) dx} = \integral_{4-m}^{4} {(- x^2 + 4x -mx) dx} [/mm]
Du kannst jetzt, wie Fugre vorgeschlagen hat, zusammenfassen. Das vereinfacht die Rechnung sicher. Ich gehe aber hier deinen Weg weiter.
Die Stammfunktionen sind
[mm] F_1(x) = \bruch{1}{2}mx^2 + \bruch{1}{3}x^3 - 2x^2 [/mm]
[mm] F_2(x) = - \bruch{1}{3}x^3 + 2x^2 - \bruch{1}{2}mx^2 [/mm]
Also muss gelten
[mm] \bruch{1}{2}m(4 - m)^2 + \bruch{1}{3}(4-m)^3 - 2(4-m)^2 = - \bruch{1}{3}4^3 + 2 \cdot 4^2 - \bruch{1}{2}m \cdot 4^2 - (- \bruch{1}{3}(4-m)^3 + 2(4-m)^2 - \bruch{1}{2}m(4-m)^2 [/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}m \cdot (4 - m)^2 + \bruch{1}{3}(4-m)^3 - 2(4-m)^2 = - \bruch{1}{3}\cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 - \bruch{1}{2}m \cdot 4^2 + \bruch{1}{3}(4-m)^3 - 2(4-m)^2 + \bruch{1}{2}m \cdot (4-m)^2 [/mm]
Jetzt fällt ja das meiste weg. Es bleibt
[mm] 0 = - \bruch{1}{3} \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 - \bruch{1}{2}m \cdot 4^2 [/mm]
Dies ist doch eine ganz passable Gleichung, die sich leicht lösen lässt.
[mm] - \bruch{64}{3} + 32 - 8 m = 0 [/mm]
[mm] m = \bruch{4}{3} [/mm]
Gruß
Sigrid
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 02.06.2005 | | Autor: | hooover |
hallo
ersteinmal vielen dank vieln dank für eure mühen und der bereitschaft zu helfen, ich habe dieses ding so oft gerechnet und doch war mir die lösung bislang immer verborgen gebliben aber
sagt was ihr von diesen versuch haltet
vorerst nochmal die aufgabenstellung
Für welche wert von m sind beide schfraffierten flächen (siehe Skizze) gleich groß?
[mm] f_1(x)=mx
[/mm]
[mm] f_2(x)=-x^2+4x
[/mm]
Nullstellen:
[mm] f_2(x)=0
[/mm]
0 [mm] =-x^2+4x
[/mm]
0 =x(x+4)
[mm] x_1=0
[/mm]
[mm] x_2=-4
[/mm]
Schnittpunkte:
[mm] f_1(x)=f_2(x)
[/mm]
mx = [mm] -x^2+4x
[/mm]
0= [mm] -x^2+4x-mx
[/mm]
0= x(-x+4-m)
[mm] x_1= [/mm] 0
[mm] x_2= [/mm] 4-m
Fläche:
[mm] A_{0}^{4-m} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{4-m} [/mm] {f(x) dx}=| F(4-m) - F(0)|
[mm] f_{D}(x)= -x^2+4x+mx [/mm] = [mm] -x^2+x(4-m)
[/mm]
[mm] F_{D}(x)=- \bruch{1}{3}x^3+ \bruch{1}{2}x^2(4-m)
[/mm]
[mm] F_{D}(0)=0
[/mm]
[mm] F_{D}(4-m)= [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}(4-m)^3+ \bruch{1}{2}(4-m)^2*(4-m)
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{3}(4-m)^3+ \bruch{1}{2}(4-m)^3
[/mm]
= [mm] (4-m)^3*(- \bruch{1}{3}+ \bruch{1}{2})
[/mm]
= [mm] (4-m)^3* \bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] A_{0}^{4-m} [/mm] = | F(4-m) - F(0)|
[mm] =|(4-m)^3* \bruch{1}{6}-0|
[/mm]
= [mm] (4-m)^3* \bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] A_{4-m}^{4} [/mm] = [mm] \integral_{4-m}^{4} [/mm] {f(x) dx}=| F(4) - F(4-m)|
[mm] F_{D}(4)= [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*4^3+ \bruch{1}{2}*4^2(4-m)
[/mm]
= [mm] \bruch{32}{3}-8m
[/mm]
[mm] F_{D}(4-m)= (4-m)^3* \bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] A_{4}^{4-m} [/mm] = | F(4) - F(4-m)|
= | [mm] \bruch{32}{3}-8m- \bruch{1}{6}(4-m)^3|
[/mm]
= [mm] |\bruch{63}{6}-8m(4-m)^3|
[/mm]
[mm] A_{4}^{4-m} [/mm] = [mm] \bruch{63}{6}-8m(4-m)^3
[/mm]
so jetzt wirds erst interessant, falls ich richtig liege müßte es heißen
[mm] A_{0}^{4-m} [/mm] = [mm] A_{4}^{4-m}
[/mm]
[mm] (4-m)^3* \bruch{1}{6}=\bruch{63}{6}-8m(4-m)^3 [/mm]
[mm] \bruch{1}{6}= \bruch{63}{6}-8m
[/mm]
8m* [mm] \bruch{1}{6}= \bruch{63}{6}
[/mm]
m = [mm] \bruch{63}{8}
[/mm]
so ungefähr müßte das aussehen aber ich befürchte wieder mal einen fehler gemacht zuhaben
vielleicht schaut nochmal einer drauf
vielen dank bis dann
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Fr 03.06.2005 | | Autor: | raimund |
[mm] \bruch{63}{8} [/mm] ist sicher falsch da [mm] \bruch{63}{8}>4 [/mm] und damit der schnittpunkt von [mm] f_{1} [/mm] und
[mm] f_{2} [/mm] einen negativen x-wert hätte also der schnittpunkt im dritten quadranten liegen würde.
der fehler liegt in dieser passage:
$ [mm] A_{4-m}^{4} [/mm] $ = | F(4) - F(4-m)|
= [mm] \bruch{32}{3}-8m- \bruch{1}{6}(4-m)^3
[/mm]
( hier hörst du am besten auf !! da es ja nur um den vergleich mit
$ [mm] A_{0}^{4-m} [/mm] $ = $ [mm] (4-m)^3\cdot{} \bruch{1}{6} [/mm] $ geht!)
= $ [mm] |\bruch{63}{6}-8m(4-m)^3| [/mm] $ (FEHLER!!!, wie in aller welt kommst du darauf?)
da du sowohl [mm] A_{0}^{4-m} [/mm] als auch [mm] A_{4-m}^{4} [/mm] mit derselben stammfunktion berechnet hast musst bei [mm] A_{4-m}^{4} [/mm] das Integral mit (-1) multiplizieren da die regel ist : obere fkt. - untere fkt.
also
[mm] A_{4-m}^{4} [/mm] = [mm] -\bruch{32}{3}+8m+ \bruch{1}{6}(4-m)^3
[/mm]
der rest ist dann routine.
---------------------------------------------------------------------------------------
gleichsetzen:
[mm] A_{0}^{4-m}=A_{4-m}^{4}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}(4-m)^3 [/mm] = [mm] -\bruch{32}{3}+8m+ \bruch{1}{6}(4-m)^3
[/mm]
offenbar:
0 = $ [mm] \bruch{32}{3}-8m [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] m= [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Fr 03.06.2005 | | Autor: | raimund |
der ansatz ist super und auch recht einfach zu lösen
aber in der letzten zeile ist dem autor ein fehler unterlaufen:
$ - [mm] \bruch{64}{3} [/mm] + 32 - 8 m = 0 $
$ m = [mm] \bruch{8}{3} [/mm] $
muss heißen m = [mm] \bruch{4}{3}. [/mm] ist offensichtlich, denk ich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Fr 03.06.2005 | | Autor: | hooover |
verdammt das ist wirklich ein dummer fehler :[
m=/ [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
ist richtig.
endlich geschaft!!!!!
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