Integrale 1 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 21:40 Di 20.05.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Berechne:
a) [mm] \integral_{-2}^{7}{7x^{3} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{1}^{4}{(5x^{2}+3x) dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{1}^{2}{(\bruch{1}{2}x^{3}+6x^{2}+1) dx}
[/mm]
d) [mm] \integral_{-4}^{4}{4x^{3} -3x^{2}+1 dx}
[/mm]
e) [mm] \integral_{-1}^{3}{\bruch{2}{5}x^{2} dx}
[/mm]
f) [mm] \integral_{-2}^{-1}{-4x^{3} dx}
[/mm]
h) [mm] \integral_{-4}^{2}{-5 dx}
[/mm]
|
Quelle: Elemente der Mathematik
|
|
| |
|
Hallo Tyskie!
Nach langer Pause melde ich mich nun wiedereinmal. Die Schulzeit ist nun zu neige gegangen. In Mathe habe ich nicht zuletzt wegen eurer Hilfe noch einige Einsen bekommen(Zum Thema der Differenzialrechnung).
Jedenfalls bin ich froh, dass ich mich jetzt in Ruhe der Integralrechnung widmen kann. Da ich in dieses Gebiet jetzt autodidakt eingestiegen bin wird wahrscheinlich einiges zu verbessern sein....
Meine Vorschläge sind:
a) Stammfunktion: [mm]\bruch{7x^4}{4}+C[/mm]
Gleich eine Frage: Warum kann die Konstante c bei der Berechnung des bestimmten Integrals vernachlässigt werden?
Wert: 4173,75
b) St. : [mm]\bruch{5x^3}{3}+\bruch{3x^2}{2}+c[/mm]
Wert: 127,499
c) St.:[mm]\bruch{x^4}{8}+\bruch{6x^3}{3}+c[/mm]
Wert: 16,875
d) St.: [mm] x^4-x^2+x+c
[/mm]
W. = 8
e)
St.:[mm]\bruch{2x^3}{15}+c[/mm]
W.= 3,73
f) [mm] St.:-x^4+c
[/mm]
W.= 15
h)
ST.: -5x+c
W.= -30
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß
Angelika
|
|
|
| |
|
Hallo Tyskie und Herby!
Danke für die Korrektur und den Hinweis!
Also wäre der Wert bei a) 4229,75, d) 512 und bei h) 30.
Stimmen diese Annahmen?
Gruß
Angelika
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 So 15.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Angelika,
bei d) warst du aber ganz schön großzügig mit der Nullstelle 
512 ist nur ein Näherungwert.
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Angelika,
> a) Stammfunktion: [mm]\bruch{7x^4}{4}+C[/mm]
>
> Gleich eine Frage: Warum kann die Konstante c bei der
> Berechnung des bestimmten Integrals vernachlässigt werden?
setz' doch einmal die Grenzen ein:
[mm] \left|\left[\bruch{7}{4}*x^4+C\right]_{-2}^{\ \ 0}\right|=\left|\bruch{7}{4}*(0)^4\ +C-\left[\bruch{7}{4}*(-2)^4\ +C\right]\right|=\left|\bruch{7}{4}*(0)^4\ \red{+C}-\bruch{7}{4}*(-2)^4\ \red{-C}\right|=|0-28|=28
[/mm]
und damit ist die Konstante weg
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Integrale Aufgabenblatt 6 |
Kann man eigentlich noch Lösungen abgeben, habe einige Aufgaben bearbeitet und wollte sie hier einstellen.
Den Fehler mit den "negativen Flächenwerten" habe ich auch gemacht. Muss diese Aufgaben nochmal durchrechnen.
Sollte man nicht besser vorher schauen, wo negative Wert herauskommen könnten und dann mit Teilintervallen und Betragsstrichen arbeiten ?
Schorsch
|
|
|
| |
|
Ach ja, die Gardinenstange, schöne Aufgabe.
So, jetzt muss ich aber ranrauschen...
Schorsch
|
|
|
| |
|
a) [mm] \integral_{-2}^{7}{7x^3 dx} [/mm] Ich hatte anfangs auch die NST von f nicht beachtet...
Zur Veranschaulichung benutze ich gerne Derive.
Aber man kann hier auch so sehen, dass die Funktionswerte für x< 0 negativ und für x> 0 positiv sind. Die Nullstelle liegt bei x=0.
Deshalb muss man das Integral an der NST teilen und den negativen Teil in Betragsstriche setzen.:
[mm] \integral_{-2}^{7}{7x^3 dx}=|\integral_{-2}^{0}{7x^3 dx}|+\integral_{0}^{7}{7x^3 dx}=|[\bruch{7}{4}x^4]^{0}_{-2}|+[\bruch{7}{4}x^4]^7_{0}|=
[/mm]
[mm] |-28|+\bruch{16807}{4}=4229.75 [/mm] FE
b) [mm] \integral_{1}^{4}{5x^2+3x dx} [/mm] Die NST sind bei f(x)=0, also bei [mm] 5x^2+3x=5x(x+\bruch{3}{5})
[/mm]
[mm] x_{0_{1}}=0 \wedge x_{0_{2}}= -\bruch{3}{5}Da [/mm] beide NST nicht im Intervall [1;4] liegen, können wir das Integral sofort berechnen:
[mm] \integral_{1}^{4}{5x^2+3x dx}=[\bruch{5}{3}x^3+\bruch{3}{2}x^2]^{4}_{1}= [/mm] 127.5 FE
c) [mm] \integral_{1}^{2}{(\bruch{1}{2}x^3+6x^2+1) dx} [/mm] Hier die NST zu berechnen , funktioniert nur mit Näherungswerten. [mm] x_0 \approx [/mm] -12.01.
Weiter kommt man, wenn man den Kurvenverlauf im gegebenen Intervall betrachtet. Dazu nimmt man die 1.Ableitung:
[mm] f'(x)=\bruch{3}{2}x^2+12x [/mm] für f'(x)=0 erhält man bei x=-8 einen Hochpunkt und bei x=0 einen Tiefpunkt. Für x-Werte > 0 steigt die Kurve steil nach oben an. Insofern kann man wie in Aufgabe b) das Integral direkt berechnen:
[mm] \integral_{1}^{2}{(\bruch{1}{2}x^3+6x^2+1) dx}=[\bruch{1}{8}x^42x^3+x]^{4}_{1}=160\bruch{7}{8}=160.875 [/mm] FE
d) [mm] \integral_{-4}^{4}{4x^3-3x^2+1 dx} [/mm] hier lohnt es sich wieder, zuerst die NST zu suchen. Ich habe die NST näherungsweise berechnet:
Laut Wertetabelle lag die NST zwischen x=0 und x=-1. Mit Probieren bekam ich für die NST den Wert x [mm] \approx [/mm] -0.455 (Das Newtonsche Näherungsverfahren hatte ich leider nicht mehr ganz drauf).
Jetzt teilen wir das Intervall an der NST und setzen das 1.Integral in Betragsstriche:
[mm] \integral_{-4}^{4}{4x^3-3x^2+1 dx}=|\integral_{-4}^{-0.455}{4x^3-3x^2+1 dx}|+\integral_{-0.455}^{4}{4x^3-3x^2+1 dx}=
[/mm]
[mm] [x^4-x^3+x]^{-0.455}_{-4}|+[x^4-x^3+x]^{4}_{-0.455} \approx [/mm] 512.6 FE
e) [mm] \integral_{-1}^{3}{\bruch{2}{5}x^2 dx} [/mm] Die NST liegt bei x=0. Da es aber eine quadratische Funktion ist, liegen die y-Werte bei [mm] \ge [/mm] 0, sind also nicht negativ.
[mm] \integral_{-1}^{3}{\bruch{2}{5}x^2 dx}=[\bruch{2}{15}x^3]^{3}_{-1}= \bruch{56}{15} [/mm] FE
f) [mm] \integral_{-2}^{-1}{-4x^3 dx} [/mm] NST bei x=0 für x-Wert <0 sind die y-Werte positiv. Also wie gehabt:
[mm] \integral_{-2}^{-1}{f(x) dx}=[-x^4]^{-1}_{-1}=-1-(-16)=+15 [/mm] FE
g) ?
h) [mm] \integral_{-4}^{2}{-5 dx} [/mm] hier gibt es keine NST . f liegt parallel zur und unterhalb der x-Achse, alle Werte sind negativ. Das Intervall braucht nicht geteilt zu werden. Man muss nur Betragsstriche setzen:
[mm] \integral_{-4}^{2}{-5 dx}=|[-5x]^{2}_{-4}|=|-10-20|=|-30|= [/mm] +30 FE
So das reicht erstmal, muss morgen früh hoch. Hoffe, das ich das mit den NST und den Betragsstrichen richtig gemacht habe.
Hätte ich auf das Näherungsverfahren besser eingehen müssen ?
Schorsch
|
|
|
| |
|
gefragt war das Integral
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2 dx}
[/mm]
Ich suchte zuerst nach den NST und setzte f(x)=0
[mm] f(x)=0=x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2 [/mm] ich versuchte es mit Polynomdivision und probierte einen Teiler von [mm] -\pi^2, [/mm] um den Term durch [mm] (x-x_0) [/mm] teilen zu können.
Ich entschied mich für [mm] x_0=\pi [/mm] und fing an zu rechnen:
[mm] (x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2):(x-\pi)=x^2
[/mm]
[mm] -(x^3-\pi x^2)
[/mm]
0 + [mm] \pi [/mm] x - [mm] \pi x^2 [/mm] (ich könnte jetzt [mm] -\pi [/mm] nehmen, sah aber, dass dies wohl schon der Rest sein müsste., also blieb nach der Polynomdivision und Einsetzen in f(x) übrig:
[mm] f(x)=(x-\pi)(x^2 [/mm] + [mm] \bruch{\pi (x-\pi)}{x-\pi}) [/mm] Jetzt wollte ich erst [mm] x-\pi [/mm] wegkürzen, mir fiel aber ein, dass man NST nicht kürzen darf !
Für f(x)=0 war die erste Klammer gleich Null. (Der Teil in der 2.Klammer hat eine gewisse Bedeutung bezüglich des Krümmungsverhaltens der Kurve, glaube ich...?)
Ich hatte also "lediglich" eine NST von f festgestellt mit [mm] x_0=\pi
[/mm]
Um die möglichen Auswirkungen der ermittelten NST auf das zu lösende Integral festzustellen, schaute ich mir den Wertebereich links und rechts der NST an.
Für x < [mm] \pi [/mm] war W: < 0 und für x > [mm] \pi [/mm] war W > 0. Da die NST [mm] \pi [/mm] die obere Intervallgrenze von I= [mm] [-\pi [/mm] ; [mm] \pi] [/mm] war, dürfte der zu ermittelnde Flächen wert negativ sein.
Damit musste das Integral lediglich um Betragsstriche ergänzt werden:
[mm] |\integral_{-\pi}^{\pi}{x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2 dx}|=
[/mm]
[mm] |[\bruch{x^4}{4}-\bruch{\pi}{3}x^3+\bruch{\pi}{2}x^2-\pi^2x]^{\pi}_{-\pi}|=
[/mm]
[mm] |\bruch{\pi^4}{4}-\bruch{\pi^4}{3}+\bruch{\pi^3}{2}-\pi^3-\bruch{\pi^4}{4}-\bruch{\pi^4}{3}-\bruch{\pi^3}{2}-\pi^3| [/mm] =
[mm] |-\bruch{2}{3}\pi^4-2\pi^3| [/mm] = [mm] \bruch{2\pi^3(\pi+3)}{3} \approx [/mm] 127 FE
Schorsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 05.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Ist hier nach dem Integral gefragt oder nach dem Flächeninhalt zwischen Funktionskurve und x-Achse im genannten Intervall?
Im ersteren Falle ist die Ermittlung der Nullstellen überflüssig.
> [mm]f(x)=0=x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2[/mm] ich versuchte es mit
> Polynomdivision und probierte einen Teiler von [mm]-\pi^2,[/mm] um
> den Term durch [mm](x-x_0)[/mm] teilen zu können.
>
> Ich entschied mich für [mm]x_0=\pi[/mm] und fing an zu rechnen:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm](x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2):(x-\pi)=x^2[/mm]
> [mm]-(x^3-\pi x^2)[/mm]
>
> 0 + [mm]\pi[/mm] x - [mm]\pi x^2[/mm] (ich könnte jetzt [mm]-\pi[/mm] nehmen, sah
> aber, dass dies wohl schon der Rest sein müsste.,
Wieseo Rest? Wenn [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \pi$ [/mm] eine Nullstelle der o.g. Funktion ist, darf kein Rest verbleiben.
Es geht hier also weiter mit [mm] $x^2 [/mm] \ [mm] \red{-\pi}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Do 05.02.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Loddar,
die Nullstelle von Schorsch ist korrekt. Der andere Teil lautet wirklich [mm] x^2\red{+}\pi [/mm] und damit gibt es keine reelle Nullstelle mehr. Auch das Ergebnis mit [mm] A\approx [/mm] 127 ist richtig.
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Do 05.02.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Schorsch,
> gefragt war das Integral
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2 dx}[/mm]
>
> Ich suchte zuerst nach den NST und setzte f(x)=0
>
> [mm]f(x)=0=x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2[/mm] ich versuchte es mit
> Polynomdivision und probierte einen Teiler von [mm]-\pi^2,[/mm] um
> den Term durch [mm](x-x_0)[/mm] teilen zu können.
>
> Ich entschied mich für [mm]x_0=\pi[/mm] und fing an zu rechnen:
>
> [mm](x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2):(x-\pi)=x^2[/mm]
> [mm]-(x^3-\pi x^2)[/mm]
>
> 0 + [mm]\pi[/mm] x - [mm]\pi x^2[/mm] (ich könnte jetzt [mm]-\pi[/mm] nehmen, sah
> aber, dass dies wohl schon der Rest sein müsste., also
> blieb nach der Polynomdivision und Einsetzen in f(x)
> übrig:
>
> [mm]f(x)=(x-\pi)(x^2[/mm] + [mm]\bruch{\pi (x-\pi)}{x-\pi})[/mm] Jetzt wollte
> ich erst [mm]x-\pi[/mm] wegkürzen, mir fiel aber ein, dass man NST
> nicht kürzen darf !
ist ja in diesem Fall keine Nullstelle mehr, denn du hattest ja vorher eine Polynomdivision vollzogen - es bleibt kein Rest:
[mm] f(x)=(x-\pi)*(x^2+\pi)
[/mm]
> Für f(x)=0 war die erste Klammer gleich Null. (Der Teil in
> der 2.Klammer hat eine gewisse Bedeutung bezüglich des
> Krümmungsverhaltens der Kurve, glaube ich...?)
>
> Ich hatte also "lediglich" eine NST von f festgestellt mit
> [mm]x_0=\pi[/mm]
>
> Um die möglichen Auswirkungen der ermittelten NST auf das
> zu lösende Integral festzustellen, schaute ich mir den
> Wertebereich links und rechts der NST an.
>
> Für x < [mm]\pi[/mm] war W: < 0 und für x > [mm]\pi[/mm] war W > 0. Da die
> NST [mm]\pi[/mm] die obere Intervallgrenze von I= [mm][-\pi[/mm] ; [mm]\pi][/mm] war,
> dürfte der zu ermittelnde Flächen wert negativ sein.
>
> Damit musste das Integral lediglich um Betragsstriche
> ergänzt werden:
>
> [mm]|\integral_{-\pi}^{\pi}{x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2 dx}|=[/mm]
>
> [mm]|[\bruch{x^4}{4}-\bruch{\pi}{3}x^3+\bruch{\pi}{2}x^2-\pi^2x]^{\pi}_{-\pi}|=[/mm]
>
> [mm]|\bruch{\pi^4}{4}-\bruch{\pi^4}{3}+\bruch{\pi^3}{2}-\pi^3-\bruch{\pi^4}{4}-\bruch{\pi^4}{3}-\bruch{\pi^3}{2}-\pi^3|[/mm]
> =
>
> [mm]|-\bruch{2}{3}\pi^4-2\pi^3|[/mm] = [mm]\bruch{2\pi^3(\pi+3)}{3} \approx[/mm]
> 127 FE
den Bruch hätte man durchaus stehen lassen können - alles richtig
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
die war geheim: [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{x^3-\pi x^2+\pi x-\pi^2\ dx}
[/mm]![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
