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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 22:21 So 15.06.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe 1 | | Gegeben ist die Funktion [mm] \\f [/mm] und [mm] \\g [/mm] mit [mm] f(x)=x^{2} [/mm] und [mm] g(x)=x\cdot(2-x). [/mm] Skizziere die Graphen von [mm] \\f [/mm] unf [mm] \\g [/mm] in einem Koordinatensystem und bestimme, in welchem Verhältnis der Graph von [mm] \\f [/mm] die Fläche teilt, die der Graph von [mm] \\g [/mm] mit der [mm] \\1. [/mm] Achse einschließt. |
| Aufgabe 2 | Die Funktion [mm] \\f [/mm] ist gegeben durch [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}, [/mm] x>0.
a) Berechne die Fläche unter dem Graphen von [mm] \\f [/mm] über dem Intervall [1;4].
b) Welche Parallele zur 2. Achse mit [mm] \\x=k [/mm] halbiert die in Teilaufgabe a) berechnete Fläche.
c) Welche Parallele zur 1. Achse mit [mm] \\y=k [/mm] halbiert die in Teilaufgabe a) berechnete Fläche |
| Aufgabe 3 | | Der Graph einer ganzrationalen Funktion [mm] \\f [/mm] vom Grad [mm] \\3 [/mm] ist symmetrisch zum Koordinatenursprung und schneidet die [mm] \\1. [/mm] Achse an der Stelle [mm] \\1. [/mm] Außerdem schließt der Graph mit der [mm] \\1. [/mm] Achse im [mm] \\1. [/mm] Quadranten eine Fläche mit dem Flächeninhalt [mm] \\12 [/mm] ein. Bestimme den Funktionstrerm [mm] \\f(x). [/mm] |
Quelle: Elemente der Mathematik
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Aufgabe 4
1)
Wir haben [mm] f(x)=x^2 [/mm] und g(x)=x(x-2) Gesucht ist das Verhältnis der von beiden Funktionen eingeschlossenen Fläche geteilt duch die Differenz der von g mit der x-Achse eingeschlossenen Fläche und der von beiden Funktionen eingeschlossenen Fläche.
Zuerst berechne ich die Fläche der von f und g eingeschlossenen Fläche. Dazu benötige ich zuerst die Schnittstellen und setze f(x)=g(x)
[mm] x^2=2x-x^2 [/mm] | [mm] +x^2-2x
[/mm]
2x(x-1)=0 [mm] \Rightarrow x_{S_1}=0 \wedge x_{S_2}=1
[/mm]
Die x-Werte dieser beiden Schnittpunkte bilden das Intervall [0;1] der gesuchten Fläche.
Zur Flächenberechnung benutzen wir das Integral und setzen zur Sicherheit Betragsstriche
[mm] |\integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x)) dx}|=|\integral_{0}^{1}{(2x^2-2x) dx}|=
[/mm]
[mm] |[\bruch{2}{3}x^3-x^2]^{1}_{0}|=|(\bruch{2}{3}-1)-(\bruch{2}{3}0^3-0^2)=|-\bruch{1}{3}|=\bruch{1}{3} [/mm] FE
Jetzt berechnen wir die von g mit der x-Achse eingeschlossenen Fläche. Dazu benötigen wir die NST von g(x).
[mm] g(x)=0=2x-x^2=x(2-x) \Rightarrow x_{N_1}=0 \wedge x_{N_2}=2
[/mm]
Die gesuchten Fläche liegt im Intervall [0;2]:
[mm] \integral_{0}^{2}{(2x-x^2) dx}=[x^2-\bruch{x^3}{3}]^{2}_{0}=(4-\bruch{8}{3}-(0^2-\bruch{0^3}{3})=\bruch{4}{3} [/mm] FE
Das gesuchte Verhältnis wird dann so berechnet: [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{(\bruch{4}{3}-\bruch{1}{3})}=\bruch{1}{3} [/mm] also 1 : 3
Aufgabe 4
2)
[mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}, [/mm] x>0
a)
Wir schreiben [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}=x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] und berechnen die Fläche im Intervall [1;4] so:
[mm] \integral_{1}^{4}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}=[2\wurzel{x}]^{4}_{1}=2 [/mm] FE
b)
x=k (parallel zur y-Achse, halbiert die in a) berechnete Fläche)
k muss also im Intervall [1;4] liegen.
Wie in a) stelle ich das Integral auf, mit der neuen Obergrenze k und dem Ergebnis 1 FE:
[mm] \integral_{1}^{k}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}=1=[2\wurzel{x}]^{k}_{1}=(2\wurzel{9}-2\wurzel{1})=
[/mm]
[mm] 2\wurzel{k}-2=1 [/mm] |+2
[mm] 2\wurzel{k}=3 [/mm] |:2
[mm] \wurzel{k}=\bruch{3}{2} [/mm] |quadrieren damit ist
[mm] k=\bruch{9}{4}
[/mm]
c)
g(x)=k (parallel zur x-Achse, halbiert die in a) berechnete Fläche)
Die Gerade g(x)=k hat mit [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] den Schnittpunkt S [4;k]
Die Fläche unter g(x) im Intervall [1;4] soll die Hälfte von 2 FE, also 1 FE sein. Dies schreiben wir zur Berechnung von k mit dem Intervall
[mm] \integral_{1}^{4}{g(x) dx}=\integral_{1}^{4}{k dx}=1=[kx]^{4}_{1}=4k-k=1 \Rightarrow k=\bruch{1}{3}
[/mm]
Die gesuchte Gerade heißt [mm] g(x)=\bruch{1}{3}
[/mm]
Aufgabe 4
3)
Gesucht wird [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, [/mm] für die gilt: f(x)=-f(-x) (=Punktsymmetrie zum Ursprung), zudem soll gelten: [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=12 [/mm] . Auch hat die Funktion bei x=1 eine Nullstelle
Damit darf f nur ungerade Exponenten haben. Aufgrund des Punktes (0;0) ist die Variable d=0 [mm] (f(0)=0=a*0^3+b*0^2+c*0+d).
[/mm]
Als gesuchte Funktion bleibt also übrig:
[mm] f(x)=ax^3+cx [/mm] ich bestimme gleich die 1. und 2. Ableitung:
f'(x)=3ax+c
f''(x)=3a
Das In der Aufgabe genannte Integral lautet: [mm] \integral_{0}^{1}{(ax^3+cx) dx}=12 [/mm]
Ermittelt werden müssen also noch die Variablen a und c. Dazu müssen wir die gegebenen Bedingungen nutzen:
1. wegen P(1|0) gilt [mm] f(1)=0=a*1^3+c*1=a+c [/mm] (dies gilt auch für die Nullstelle P' (-1|0))
2. Wir haben also die NST und setzen f(x)=0 (in diesem Fall der umgekehrte Weg wie sonst...)
damit ist:
[mm] f(x)=0=ax^3+cx=x(ax^2+c) x_{N_1}=0 [/mm] (Ursprung)
[mm] ax^2+c=0; [/mm] für [mm] x_{N_2}=1 [/mm] gilt [mm] 1=\wurzel{\bruch{c}{a}} [/mm] |quadrieren
[mm] 1=-\bruch{c}{a} [/mm] damit a=-c
3. Das Integral mit der Fläche 12 heißt:
[mm] \integral_{0}^{1}{(ax^3+cx) dx}=12
[/mm]
jetzt nutzen wir das Ergebnis aus 2. (a=-c) und setzen c=-a in die f(x) ein:
[mm] \integral_{0}^{1}{(ax^3-ax) dx}=12=a\integral_{0}^{1}{(x^3-x) dx}=a[\bruch{x^4}{4}-\bruch{x^2}{2}]^{1}_{0}
[/mm]
[mm] 12=a(\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] 12=a*-\bruch{1}{4} [/mm] | : [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] ergab dann für a=-48 und c=48
Der gesuchte Funktionsterm lautete nun:
[mm] f(x)=-48x^3+48x
[/mm]
(Anmerkung: ich hatte in meiner ersten Brechnung den geraden Exponenten 2 bei den Bedingungen nicht gestrichen, kam dann am Ende aber auch auf dieses Ergebnis.)
Gibt es eigentlich einen kürzeren Berechnungsweg ?
Schorsch
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Danke für die Tipps Loddar !
Bei der Struktur meiner Lösungen habe ich immer noch Probleme.
Jetzt muss ich mich mal darum kümmern, meine Kenntnisse zu Ketten-, Quotientenregeln und Substitution bei Ableitungen und Integralen zu verbessern. Habe da Schwierigkeiten mit dem Nachvollziehen der Zusammenhänge.
Werde mal die Lösungen anderer und die jeweiligen Kommentare näher betrachten müssen. In diesem Vorkurs sind ja noch verschiedenste Integralaufgaben.
Die Regeln können glaube ich nur durch häufiges Üben "in Fleisch und Blut übergehen" !
Bis demnächst
Schorsch
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