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Hallo liebe Leutz,
Meine Freundin ist in der 12 und hat vor kurzem das Thema "Integrale" angefangen. Nun hat sie Hausaufgaben auf, bei denen ich ihr irgendwie auch nicht helfen kann :( (peinlich :) ) .
AUFGABE: Sie soll unter den rechten Teil einer Parabel Rechtecke zeichnen, um so die Ober- und Untersumme auszurechnen im Integral von a bis b. Ich habe echt keine Ahnung wie ich ihr da helfen soll. Sie hat mir schon ein paar Ideen gesagt , nur leider habe ich diese bereits vergessen und kann sie im Moment nicht erreichen :( . Würde mich sehr freuen, wenn jemand von euch mir diese Aufgabe lösen könnte.
Sie gab mir noch folgende Formel: 1/4 [mm] n^2 [/mm] * [mm] (n+1)^2
[/mm]
Schonmal vielen Dank im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 So 16.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ihr sollt den Flächeninhalt unter der Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] durch Rechtecke approximieren. Sei dazu $n$ die Anzahl der Rechtecke, b die Ober-, a die Untegrenze. Für Rechtecke gleicher Breite hat jedes Rechteck die Breite [mm] $\frac{b-a}{n}$. [/mm] Die Höhe der Rechteckes berechnet sich über [mm] $f\left( \frac{b-a}{n}\cdot i+a\right)=\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) [/mm] ^2$, wobei $i$ mit [mm] $0\leq i\leq [/mm] n-1$ die Nummer des jeweiligen Rechteckes ist. Folglich beträgt der Flächeninhalt des i-ten Rechteckes [mm] $\frac{b-a}{n}\cdot\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) [/mm] ^2$. Summieren wir über allen Rechtecken erhalten wir eine Annäherung an den exakten Flächeninhalt unter der Kurve:
[mm] $A\approx \summe_{i=0}^{n-1}{\frac{b-a}{n}\cdot\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) ^2}=\frac{b-a}{n}\cdot\summe_{i=0}^{n-1}{\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) ^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{b-a}{n}\cdot\left( \summe_{i=0}^{n-1}\left( \frac{(b-a)^2}{n^2}\cdot i^2\right) + \summe_{i=0}^{n-1}\left( 2\cdot\frac{b-a}{n}\cdot a\cdot i\right) + \summe_{i=0}^{n-1} a^2 \right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{(b-a)^3}{n^3}\cdot\summe_{i=0}^{n-1} i^2+2\cdot a\cdot\frac{(b-a)^2}{n^2}\cdot\summe_{i=0}^{n-1} i+\frac{b-a}{n}\cdot n\cdot a^2$
[/mm]
Wegen [mm] $\summe_{i=0}^{n-1} i^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$ [/mm] und [mm] $\summe_{i=0}^{n-1} i=\frac{n(n-1)}{2}$ [/mm] folgt
[mm] $=\frac{(b-a)^3}{n^2}\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{6}+\frac{a\cdot (b-a)^2\cdot (n-1)}{n}+(b-a)\cdot a^2$
[/mm]
Wenn du magst, kannst du noch versuchen, den Term weiter zu vereinfachen.
Willst du nun den exakten Flächeninhalt berechnen, muss du die Anzahl der Rechtecke gegen unendlich gehen lassen. Dann ergibt sich:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \left( \frac{(b-a)^3}{n^2}\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{6} \right)+\lim_{n\to\infty} \left( \frac{a\cdot (b-a)^2\cdot (n-1)}{n}\right) +(b-a)\cdot a^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{(b-a)^3}{6} \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n^2-3n+1}{n^2} \right)+a\cdot (b-a)^2\cdot\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +(b-a)\cdot a^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{(b-a)^3}{6}\cdot\lim_{n\to\infty}\left( 2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n} \right)+a\cdot (b-a)^2+(b-a)\cdot a^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{(b-a)^3}{3}+a\cdot (b-a)^2+(b-a)\cdot a^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{(b-a)^3+3\cdot a\cdot (b-a)^2+3\cdot (b-a)\cdot a^2}{3}$
[/mm]
[mm] $=\frac{b^3-3b^2a+3ba^2-a^3+3\cdot a\cdot (b^2-2ba+a^2)+3ba^2-3a^3}{3}$
[/mm]
[mm] $=\frac{b^3-a^3}{3}$
[/mm]
[mm] $=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}$.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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hey wow, vielen dank für diese ausführlich antwort... Aber kannst du vieleicht bitte nochmal schreiben, wie du auf $ [mm] f\left( \frac{b-a}{n}\cdot i+a\right)=\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) [/mm] ^2 $ kommst ?
dankeöööööö
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 So 16.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
ich mische mich einfach mal ein:
es geht hier ja um die funktion [m] f(x) = x^2 [/m] - es wird also einfach das argument $x$ quadriert.
in deinem fall ist ja das argument [mm] $\frac{b-a}{n}\cdot [/mm] i+a$ und wenn du dies quadrierst erhälst du genau: [mm] $\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) [/mm] ^2$, also [mm] $f\left( \frac{b-a}{n}\cdot i+a\right)=\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) [/mm] ^2 $.
grüße
andreas
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Oh, ja dankeschön :), aber das meinte ich eigentlich gar nicht. ich habe denke ich habe meine Frage vorher falsch vormuliert.. ich meinte, wie ich auf dieses Argument komme was in der ersten klammer steht .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 So 16.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Deus!
Die Rechtecksbreite beträgt [mm] $\frac{b-a}{n}$. [/mm] Ferner ist a die Untergrenze für die Flächeninhaltsberechnung. Folglich setzt das erste Rechteck bei $x=a$ an. Das zweite Rechteck setzt direkt rechts neben dem ersten an, also an [mm] $a+\frac{b-a}{n}$, [/mm] dann [mm] $\frac{b-a}{n}$ [/mm] ist ja die Breite der Rechtecke. Das zweite Rechteck setzt nun bei [mm] $a+\frac{b-a}{n}+\frac{b-a}{n}=a+2\cdot\frac{b-a}{n}$ [/mm] an usw. Das i-te Rechteck (ich beginne bei 0 zu zählen) setzt somit bei [mm] $a+i\cdot\frac{b-a}{n}$ [/mm] an.
Klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 So 16.01.2005 | | Autor: | DeusDeorum |
Vielen Dank, diese Erklärung war super , dankeschön
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