Integrale berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Integrale.
[mm] \integral_{-1}^{4} \bruch{1}{\wurzel{\left| x \right|}}\, [/mm] dx |
Hallo, stimmt das Integral?
[mm] \integral_{-1}^{4} \bruch{1}{\wurzel{\left| x \right|}}\, [/mm] dx = [mm] [2\wurzel{\left| x \right|}+C] [/mm] = [mm] 2\wurzel{4}-2\wurzel{(1)} [/mm] = 2
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Hallo,
> Berechnen Sie die Integrale.
>
> [mm]\integral_{-1}^{4} \bruch{1}{\wurzel{\left| x \right|}}\,[/mm]
> dx
> Hallo, stimmt das Integral?
>
> [mm]\integral_{-1}^{4} \bruch{1}{\wurzel{\left| x \right|}}\,[/mm]
> dx = [mm][2\wurzel{\left| x \right|}+C][/mm] =
> [mm]2\wurzel{4}-2\wurzel{(1)}[/mm] = 2
Nein, denn du hast einfach über eine Definitionslücke hinweg integriert. Außerdem ist deine Stammfunktion falsch, man benötigt hier eine Fallunterscheidung. Auf jeden Fall aber wird man eine Grenzwertbetrachtung durchführen müssen, um zu zeigen bzw. nachzurechnen, dass dieses Integral existiert (was es tatsächlich tut).
Gruß, Diophant
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uppps. muss ich das denn so machen dass ich von -1 bis 0 integriere und dann von 0 bis 4?
Wieso ist denn die Stammfunktion falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
> uppps. muss ich das denn so machen dass ich von -1 bis 0
> integriere und dann von 0 bis 4?
> Wieso ist denn die Stammfunktion falsch?
Betachte mal
[mm]|x|=\begin{cases} x, & \mbox{fuer } x\ge0 \\
-x, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]
Damit unterteile dann
[mm] f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}} [/mm] in zwei Teile, die du getrennt voneinander integrierst, das ganze sind dann jeweils auch noch Integrale, die auf einer Grenze nicht definiert sind, du bekommst also
[mm] \frac{1}{\sqrt{|x|}}=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \mbox{fuer } x>0 \\
\frac{1}{\sqrt{-x}}, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}
[/mm]
Damit teile das Integral dann auf, in zwei Teile
[mm] I_{1}=\int\limits_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt{-x}}dx
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{a\to0}\int\limits_{-1}^{0-a}\frac{1}{\sqrt{-x}}dx
[/mm]
Und
[mm] I_{2}=\int\limits_{0}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}dx
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{a\to0}\int\limits_{0+a}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}dx
[/mm]
Das Bilden der Stammfunktion sollte aber mit der Tatsache, dass
[mm] g(x)=\sqrt{x} [/mm] die Ableitung [mm] g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} [/mm] hat, kein Problem sein.
Marius
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:11 So 03.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
hier:
> Und
> [mm]I_{2}=\int\limits_{0}^{4}\frac{1}{\sqrt{-x}}dx[/mm]
>
> [mm]=\lim\limits{a\to0}\int\limits_{0+a}^{4}\frac{1}{\sqrt{-x}}dx[/mm]
>
dürfen keine MInuszeichen vor dem x stehen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:12 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> hier:
>
>
> > Und
> > [mm]I_{2}=\int\limits_{0}^{4}\frac{1}{\sqrt{-x}}dx[/mm]
> >
> >
> [mm]=\lim\limits{a\to0}\int\limits_{0+a}^{4}\frac{1}{\sqrt{-x}}dx[/mm]
> >
>
> dürfen keine MInuszeichen vor dem x stehen.
>
>
Stimmt, Copy&paste fehler, ich verbessere.
Danke.
> Gruß, Diophant
Marius
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Ja okay das habe ich verstanden.
Was ist denn aber nun die Stammfunktion von beiden Integralen? ich dachte weil es in der Formelsammlung steht dass [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] Die Stammfunktion ist [mm] 2\wurzel{x}.
[/mm]
Und wie mache ich jetzt den nächsten Schritt bei den beiden Integralen? setze ich nach der Stammfunktion 0-a ein oder? :S
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ja okay das habe ich verstanden.
>
> Was ist denn aber nun die Stammfunktion von beiden
> Integralen? ich dachte weil es in der Formelsammlung steht
> dass [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] Die Stammfunktion ist
> [mm]2\wurzel{x}.[/mm]
Ja, für [mm] I_2 [/mm] ist das korrekt, für [mm] I_1 [/mm] beachte das - unter der Wurzel.
>
> Und wie mache ich jetzt den nächsten Schritt bei den
> beiden Integralen? setze ich nach der Stammfunktion 0-a ein
> oder? :S
Ja, für die passende Grenze. Und danach berechne den Grenzwert [mm] a\to0 [/mm] für beide Integrale. Dieses Vorgehen solltest du im Grundstudium aber ohne Nachfragen ersehen, wenn dir der Tipp mit dem Grenzwert in der Integrationsgrenze gegeben wird.
Zur konkreten Rechnung kannst du aber sicherlich - falls nötig - nochmal nachfragen.
Marius
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Sorry, aber das hatte ich noch nicht. bzw kann mich nicht daran erinnern. es wäre sehr nett wenn man hilfe bekommen könnte zu der Aufgabe schritt für schritt. Ich muss also vom Integral den Grenzwert betrachten. Und diesen Grenzwert setze ich in die Stammfunktion ein und dann habe ich meine Lösung?
Die stammfunktion mit dem - ist dann? Man kann ja dort keine Stammfunktion bilden bei dem einen Integral?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Sorry, aber das hatte ich noch nicht. bzw kann mich nicht
> daran erinnern. es wäre sehr nett wenn man hilfe bekommen
> könnte zu der Aufgabe schritt für schritt. Ich muss also
> vom Integral den Grenzwert betrachten. Und diesen Grenzwert
> setze ich in die Stammfunktion ein und dann habe ich meine
> Lösung?
Nein. Berechne erstmal mit [mm] \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) [/mm] das Integral.
Hier also:
>
> Die stammfunktion mit dem - ist dann? Man kann ja dort
> keine Stammfunktion bilden bei dem einen Integral?
Warum nicht?
Leite mal [mm] g(x)=\sqrt{-x} [/mm] ab, dann bekommst du, mit der Kettenregel:
[mm] g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{-x}}\cdot(-1)
[/mm]
Damit ist die Stammfunktion zu [mm] f(x)=\frac{1}{\sqrt{-x}} [/mm] doch mit [mm] F(x)=-2\sqrt{-x} [/mm] schnell bestimmt.
Also gilt:
[mm] I_{1}=\int\limits_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt{-x}}dx [/mm]
[mm] =\lim\limits_{a\to0}\int\limits_{-1}^{0-a}\frac{1}{\sqrt{-x}}dx [/mm]
[mm] =\lim\limits_{a\to0}[(\underbrace{-2\cdot\sqrt{-(0-a)}}_{F(0-a)}-(\underbrace{-2\cdot\sqrt{-(-1)}}_{F(-1)})][/mm]
Fasse nun zusammen und berechne den Grenzwert.
Danach bereche [mm] I_2 [/mm] analog.
Marius
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Ich habe beim ersten Integral als Grenzwert 2 raus und beim zweiten Integral den Grenzwert 4 wenn a gegen 0 strebt. ist das richtig?
und was muss nun gemacht werden?
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Hallo,
> Ich habe beim ersten Integral als Grenzwert 2 raus und beim
> zweiten Integral den Grenzwert 4 wenn a gegen 0 strebt. ist
> das richtig?
>
> und was muss nun gemacht werden?
Es ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt beide Werte addieren und das ganze sauber aufschreiben!
Gruß, Diophant
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