Integrale bestimmen > ln() < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie folgende Integrale
b.) [mm]\integral{\bruch{x}{1+4x^2} dx}[/mm]
c.) [mm]\integral{\bruch{5x+7}{3x^2+1} dx}[/mm] |
Hallo!
Ich soll obige integrale bestimmen, und weiß auch dass das darauf hinaus laufen wird, dass da dann irgendwann steht:
[mm]\integral{\bruch{x}{x^2} dx}=ln(x^2)[/mm]
Aber wie kommt man denn dort hin? Habe versucht eine PBZ zu machen, aber da steht ja dann beim Suchen der Nullstellen etwas negatives unter der Wurzel. Ist das der richtige weg und ich abe mich nur verrechnet?
Danke für eure Hilfe oder für einen Tipp!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo froopkind!
> Ich soll obige integrale bestimmen, und weiß auch dass das
> darauf hinaus laufen wird, dass da dann irgendwann steht:
> [mm]\integral{\bruch{x}{x^2} dx}=ln(x^2)[/mm]
Das stimmt so aber nicht. Denn es gilt ja:
[mm] $$\integral{\bruch{x}{x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln|x|+C$$
[/mm]
Du meinst wohl:
[mm] $$\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln|f(x)|+C$$
[/mm]
Nun zu Deiner Aufgabe ...
[mm] $$\integral{\bruch{x}{1+4*x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{8}*\bruch{8*x}{1+4*x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{8}*\integral{\bruch{8*x}{1+4*x^2} \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Nun liegt die obige Form vor mit dem Zähler als Ableitung des Nenners.
Gruß
Loddar
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Ah! Danke für die rasche erklärung! Also kann ich davon ausgehen, dass eine Partialbruchzerlegung da generell der falsche weg ist? Ich muss einfach versuchen die erforderliche Form herzustellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mo 28.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ah! Danke für die rasche erklärung! Also kann ich davon
> ausgehen, dass eine Partialbruchzerlegung da generell der
> falsche weg ist? Ich muss einfach versuchen die
> erforderliche Form herzustellen.
Im Prinzip ja. Aber es kann unter Umständen mehrere Wege geben, die zum Ergebnis führen. Hier würde die Partialbruchzerlegung auch funktionieren.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
> Hier würde die Partialbruchzerlegung auch funktionieren.
Prinzipiell ja. Aber das wäre doch ein sehr umständlicher Rechenweg.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Mo 28.01.2008 | | Autor: | froopkind |
Meinem Verständnis ist aber auf jeden Fall geholfen. Danke euch beiden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Mo 28.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius!
>
>
> > Hier würde die Partialbruchzerlegung auch funktionieren.
>
> Prinzipiell ja. Aber das wäre doch ein sehr umständlicher
> Rechenweg.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo Loddar
Ich habe ja auch nicht behauptet, dass das der elegante Weg ist. 
Aber er würde auch zum Ziel führen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo froopkind!
Forme um wie folgt:
[mm] $$\bruch{5*x+7}{3*x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5*x}{3*x^2+1}+\bruch{7}{3*x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{6}*\bruch{6*x}{3*x^2+1}+7*\bruch{1}{\left(\wurzel{3}*x\right)^2+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo nochmal!
Soweit verstehe ich das, und aus
$ [mm] \integral \bruch{5}{6}\cdot{}\bruch{6\cdot{}x}{3\cdot{}x^2+1}+7\cdot{}\bruch{1}{\left(\wurzel{3}\cdot{}x\right)^2+1} [/mm] $
kann ich dann auch
$ [mm] \bruch{5}{6}|ln(3x^2+1| [/mm] + 7 [mm] \integral \cdot{}\bruch{1}{\left(\wurzel{3}\cdot{}x\right)^2+1} [/mm] $
machen. Aber was mache ich dann mit dem hinteren Integral? Und wieso hast du die 3 mit in das Quadrat gezogen? Stehe mal wieder aufm Schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo froopkind!
Für das zweite Integral solltest Du nun $z \ := \ [mm] \wurzel{3}*x$ [/mm] substituieren und an [mm] $\arctan(z)$ [/mm] denken.
Gruß
Loddar
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Ich habe eine "Liste einiger wichtiger Funktionen", was ich sehr praktisch finde. Jedoch muss ich jetzt feststellen, dass da ja nur die vereinfachten Varianten draufstehen. Kennt jemand so eine liste wo statt
$ [mm] \integral \bruch{1}{x}=\ln|x|$ [/mm] gleich $ [mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln|f(x)|+C [/mm] $ steht?
Meine Version der Liste sieht so aus: [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 28.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Liste die du suchst, bekommst du am besten rückwärts, indem du zusammengesetzte Funktionen ableitest!
also z.Bsp:
ln(f) hast du schon. [mm] \wurzel{f}, e^f f^2 f^n [/mm] sin(f), arcsinf usw.
Manche - die ersten 4 sind interessanter, weil sie öfter vorkommen, ne Liste für den Rest erübrigt sich, wenn man nen blick dafür entwickelt, die Kettenregel rückwärts zu sehen. etwa bei so was wie [mm] x*sin(x^2) [/mm] usw.
Gruss leduart
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