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Integrale m. unbeschränkter In: Bestimmung der Stammfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Sa 18.04.2015
Autor: Olli1968

Aufgabe
Berechnen Sie [mm]\integral_{a}^{2}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^{2}}}dx}[/mm] ;[mm]a\in(1;2)[/mm] mithilfe des Hauptsatzes und untersuchen Sie die sich hieraus ergebende Funktion auf Konvergenz für [mm]a\to1[/mm]. Verfahren Sie entsprechend mit  [mm]\integral_{-1}^{b}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^{2}}}dx}[/mm] ;[mm]b\in(-1;1)[/mm] für für [mm]b\to1[/mm].


Hallo liebe Mathefreunde,

obige Frage habe ich in keinem anderen Forum gepostet. Soweit kam ich mit der Aufgabe klar, da die Stammfunktion [mm]F(x)=\begin{cases} -3\wurzel[3]{-x+1}, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ 3\wurzel[3]{x-1}, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}[/mm] angegeben war.
Mein Frage: Wie kommt man allerdings darauf?

Ich habe mir dazu folgende Gedanken gemacht und wollte nun wissen, ob es so richtig ist ...
Definitionsbereich [mm]x \in D_f=\IR \backslash \{1\}[/mm]

Fall 1: [mm]x>1[/mm]
[mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^{2}}}}}dx[/mm]
Substitution: [mm]z=x-1[/mm] und [mm]dz=dx[/mm] damit erhält man [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel[3]{z^{2}}}dz}=3\wurzel[3]{z}+c [/mm] und nach Resubstitution [mm]F(x)=3\wurzel[3]{x-1}+c [/mm] ; für [mm]x>1[/mm]

Fall 2: [mm]x<1[/mm]
[mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^{2}}}}}dx[/mm]
Substitution: [mm]z=x-1[/mm] da aber [mm]z<0[/mm] habe ich [mm]-z=x-1[/mm] angesetzt und somit [mm]z=-x+1[/mm] erhalten und somit [mm]dz=(-1) dx[/mm] erhalten. Damit erhielt ich [mm](-1)\integral{\bruch{1}{\wurzel[3]{(-z)^{2}}}dz}=-3\wurzel[3]{z}+c [/mm] und nach Resubstitution [mm]F(x)=-3\wurzel[3]{-x+1}+c [/mm] ; für [mm]x<1[/mm]

Es kommt zwar das raus, was man erwartet aber hier bin ich mir gar nicht sicher ob mein Weg so richtig ist?

Vielen Dank


        
Bezug
Integrale m. unbeschränkter In: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Sa 18.04.2015
Autor: reverend

Hallo Olli,

Dein Weg ist ok. Er sieht durch die Schreibweise nur unnötig kompliziert aus, wozu die Aufgabenstellung auch verleitet.

Wenn Du Dir [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{z}^2}=z^{-2/3} [/mm] klarmachst, ist das ganze übersichtlicher und dadurch leichter verständlich.

> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{a}^{2}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^{2}}}dx}[/mm]
> ;[mm]a\in(1;2)[/mm] mithilfe des Hauptsatzes und untersuchen Sie die
> sich hieraus ergebende Funktion auf Konvergenz für [mm]a\to1[/mm].
> Verfahren Sie entsprechend mit  
> [mm]\integral_{-1}^{b}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^{2}}}dx}[/mm]
> ;[mm]b\in(-1;1)[/mm] für für [mm]b\to1[/mm].
>  Hallo liebe Mathefreunde,
>  
> obige Frage habe ich in keinem anderen Forum gepostet.
> Soweit kam ich mit der Aufgabe klar, da die Stammfunktion
> [mm]F(x)=\begin{cases} -3\wurzel[3]{-x+1}, & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ 3\wurzel[3]{x-1}, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}[/mm]
> angegeben war.
> Mein Frage: Wie kommt man allerdings darauf?
>  
> Ich habe mir dazu folgende Gedanken gemacht und wollte nun
> wissen, ob es so richtig ist ...
>  Definitionsbereich [mm]x \in D_f=\IR \backslash \{1\}[/mm]
>  
> Fall 1: [mm]x>1[/mm]
>  [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^{2}}}}}dx[/mm]
>  Substitution: [mm]z=x-1[/mm] und [mm]dz=dx[/mm] damit erhält man
> [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel[3]{z^{2}}}dz}=3\wurzel[3]{z}+c[/mm]
> und nach Resubstitution [mm]F(x)=3\wurzel[3]{x-1}+c[/mm] ; für [mm]x>1[/mm]
>  
> Fall 2: [mm]x<1[/mm]
>  [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^{2}}}}}dx[/mm]
>  Substitution: [mm]z=x-1[/mm] da aber [mm]z<0[/mm] habe ich [mm]-z=x-1[/mm] angesetzt
> und somit [mm]z=-x+1[/mm] erhalten und somit [mm]dz=(-1) dx[/mm] erhalten.
> Damit erhielt ich
> [mm](-1)\integral{\bruch{1}{\wurzel[3]{(-z)^{2}}}dz}=-3\wurzel[3]{z}+c[/mm]
> und nach Resubstitution [mm]F(x)=-3\wurzel[3]{-x+1}+c[/mm] ; für
> [mm]x<1[/mm]
>  
> Es kommt zwar das raus, was man erwartet aber hier bin ich
> mir gar nicht sicher ob mein Weg so richtig ist?

Ja, alles ok.

> Vielen Dank

Grüße
reverend  


Bezug
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