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Forum "Integration" - Integrale nach dx^2 dsin(x)...
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Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Di 04.06.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen sie folgende Integrale

a) [mm] \integral_{0}^{1}{x*dx^2} [/mm]

b) [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)} [/mm]

c) [mm] \integral_{1}^{2}{x*dln(x} [/mm]

Moin Moin,

hier fehlt mir ein Ansatz.

Mache ich hier eine Substitution... d.h. bspw. bei a)  z = [mm] x^2 [/mm] ... ergibt das überhaupt Sinn?

Oder wie gehe ich vor?


Danke & Gruß!

[ Leider habe ich im Internet bisher nur  Integrale nach dx  bzw. nach dt usf. gefunden... ]


        
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Di 04.06.2019
Autor: chrisno

Du wirst fündig unter dem Stichwort: "Stieltjesintegral"
(Ich habe ein wenig suchen müssen)
Für Deine Aufgaben ist eine einfache Übersetzung möglich,
denn in Wikipedia steht: "Ist h stetig differenzierbar so gilt:
[mm] $\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,{\mathrm d}x$. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Di 04.06.2019
Autor: hase-hh

Moin, erstmal vielen Dank!

Also ich verwende im Folgenden:

[mm] \int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,{\mathrm dx} [/mm]

a)  [mm] \integral_{0}^{1}{x dx^2} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{x*2x dx} [/mm]

= [mm] [\bruch{2}{3}*x^3] [/mm]  = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]

b)  [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x*cos(x) dx} [/mm]

= ... [mm] \approx [/mm] - 12,07

c)  [mm] \integral_{1}^{2}{x*dln(x)} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{x*\bruch{1}{x} dx} [/mm]

= [x]  = 2 - 1 = 1

Bezug
                        
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Di 04.06.2019
Autor: chrisno

[ok]

Bezug
        
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Di 04.06.2019
Autor: HJKweseleit


> Berechnen sie folgende Integrale
>  
> a) [mm]\integral_{0}^{1}{x*dx^2}[/mm]
>  
> b) [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm]
>  
> c) [mm]\integral_{1}^{2}{x*dln(x}[/mm]
>  Moin Moin,
>  
> hier fehlt mir ein Ansatz.
>  
> Mache ich hier eine Substitution... d.h. bspw. bei a)  z =
> [mm]x^2[/mm] ... ergibt das überhaupt Sinn?
>

Ja, und dann ist [mm] dz=dx^2. [/mm] nun musst du aber alles mit z ausdrücken, integrieren und zurücksubstituieren.

Es geht aber auch einfacher, wenn man das Leibnitz-Kalkül anwendet:

[mm] dx^2 [/mm] = [mm] \bruch{dx^2}{dx}*dx [/mm] = [mm] (x^2)'dx [/mm] =2x*dx.

Jetzt musst du nur noch aufpassen, was du mit den Integrationsgrenzen machst. Wenn [mm] x^2 [/mm] von 0 nach 1 läuft, läuft x ....


Analog: d sin(x) = [mm] \bruch{sin(x)}{dx}dx [/mm] = (sin(x))'dx = cos(x)dx.

Wenn der sinus von 0 bis [mm] \pi [/mm] läuft... tja, und nun hat sich der Aufgabensteller wohl vertan: Das kann der sinus gar nicht, der flattert nur zwischen -1 und 1 herum. Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm] \pi [/mm] laufen, aber dann sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den sinus. Man könnte aber schreiben:

[mm]\integral_{x=0}^{x=\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm].


Bezug
                
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 Di 04.06.2019
Autor: hase-hh

Moin
>  
> Wenn der sinus von 0 bis [mm]\pi[/mm] läuft... tja, und nun hat
> sich der Aufgabensteller wohl vertan: Das kann der sinus
> gar nicht, der flattert nur zwischen -1 und 1 herum.
> Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber dann
> sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> sinus. Man könnte aber schreiben:
>  
> [mm]\integral_{x=0}^{x=\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm].
>  

Ich sehe absolut keinen Unterschied zwischen deiner Formulierung und der Aufgabenstellung

[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)}. [/mm]




Bezug
                
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Di 04.06.2019
Autor: chrisno


> ....
> Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber dann
> sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> sinus.

Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in WInkipedia finde.
Mit der Interpretation, dass h(x) ein Gewichtsfunktion ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen sich auf x beziehen, meine ich.


Bezug
                        
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Di 04.06.2019
Autor: hase-hh


> > ....
>  > Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber

> dann
> > sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> > immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> > sinus.
>
> Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in
> WInkipedia finde.
>  Mit der Interpretation, dass h(x) ein Gewichtsfunktion
> ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen
> sich auf x beziehen, meine ich.
>  

Damit ich das überhaupt verstehe.

Bei einem Integral  [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]  ist gemeint  [mm] \integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dx}, [/mm] richtig?

Bei einem Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dh(x)} [/mm]  ist gemeint
[mm] \integral_{h(x)=a}^{h(x)=b}{f(x) dh(x)}, [/mm] richtig?

Wenn das so ist, müssten sich dann bei Anwendung der Umformungsregel nicht auch die Grenzen verändern? Bisher bin ich davon ausgegangen, dass die Grenzen sich dadurch nicht verändern...!?

Bezug
                                
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Di 04.06.2019
Autor: chrisno


> > > ....
>  >  > Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber

> > dann
> > > sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> > > immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> > > sinus.
> >
> > Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in
> > WInkipedia finde.
>  >  Mit der Interpretation, dass h(x) ein Gewichtsfunktion
> > ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen
> > sich auf x beziehen, meine ich.
>  >  
>
> Damit ich das überhaupt verstehe.
>
> Bei einem Integral  [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]  ist gemeint
>  [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dx},[/mm] richtig?

[ok]

>  
> Bei einem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dh(x)}[/mm]  ist
> gemeint
> [mm]\integral_{h(x)=a}^{h(x)=b}{f(x) dh(x)},[/mm] richtig?

Das hängt davon ab, wessen Interpretation Du folgst.
Ich habe ja meine Meinung angemerkt, dass [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dh(x)}[/mm] gemeint ist.

>
> Wenn das so ist, müssten sich dann bei Anwendung der
> Umformungsregel nicht auch die Grenzen verändern? Bisher
> bin ich davon ausgegangen, dass die Grenzen sich dadurch
> nicht verändern...!?

Wenn Du mir und Wikipedia folgst, nicht.


Bezug
                                        
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:10 Mi 05.06.2019
Autor: fred97


> > > > ....
>  >  >  > Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen,

> aber
> > > dann
> > > > sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> > > > immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> > > > sinus.
> > >
> > > Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in
> > > WInkipedia finde.
>  >  >  Mit der Interpretation, dass h(x) ein
> Gewichtsfunktion
> > > ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen
> > > sich auf x beziehen, meine ich.
>  >  >  
> >
> > Damit ich das überhaupt verstehe.
> >
> > Bei einem Integral  [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]  ist gemeint
> >  [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dx},[/mm] richtig?

>  [ok]
>  >  
> > Bei einem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dh(x)}[/mm]  ist
> > gemeint
> > [mm]\integral_{h(x)=a}^{h(x)=b}{f(x) dh(x)},[/mm] richtig?
>  Das hängt davon ab, wessen Interpretation Du folgst.


Da gibts keine Interpretation. Diese Diskussion läuft ziemlich aus dem Ruder !

Die Integrationsgrenzen sind und bleiben a und b. Sehen wir uns mal das Beispiel a=0, b=1 und [mm] h(x)=x^2 [/mm] +200 an.

h(x)=0 und /oder h(x)=1 ist völliger Unsinn, denn h(x) [mm] \ge [/mm] 200 für alle x.







> Ich habe ja meine Meinung angemerkt, dass
> [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dh(x)}[/mm] gemeint ist.
>  
> >
> > Wenn das so ist, müssten sich dann bei Anwendung der
> > Umformungsregel nicht auch die Grenzen verändern? Bisher
> > bin ich davon ausgegangen, dass die Grenzen sich dadurch
> > nicht verändern...!?
> Wenn Du mir und Wikipedia folgst, nicht.
>  


Bezug
                                
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Mi 05.06.2019
Autor: fred97


> > > ....
>  >  > Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber

> > dann
> > > sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> > > immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> > > sinus.
> >
> > Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in
> > WInkipedia finde.
>  >  Mit der Interpretation, dass h(x) ein Gewichtsfunktion
> > ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen
> > sich auf x beziehen, meine ich.
>  >  
>
> Damit ich das überhaupt verstehe.
>
> Bei einem Integral  [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]  ist gemeint
>  [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dx},[/mm] richtig?

Ja.


>  
> Bei einem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dh(x)}[/mm]  ist
> gemeint
> [mm]\integral_{h(x)=a}^{h(x)=b}{f(x) dh(x)},[/mm] richtig?

Nein !! Einer meiner Vorredner hat völlig unnötige Verwirrung angerichtet !


>
> Wenn das so ist, müssten sich dann bei Anwendung der
> Umformungsregel nicht auch die Grenzen verändern? Bisher
> bin ich davon ausgegangen, dass die Grenzen sich dadurch
> nicht verändern...!?


Bezug
                                        
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:56 Mi 05.06.2019
Autor: hase-hh

Vielen Dank !!

Bezug
                
Bezug
Integrale nach dx^2 dsin(x)...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:03 Mi 05.06.2019
Autor: fred97


> > Berechnen sie folgende Integrale
>  >  
> > a) [mm]\integral_{0}^{1}{x*dx^2}[/mm]
>  >  
> > b) [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm]
>  >  
> > c) [mm]\integral_{1}^{2}{x*dln(x}[/mm]
>  >  Moin Moin,
>  >  
> > hier fehlt mir ein Ansatz.
>  >  
> > Mache ich hier eine Substitution... d.h. bspw. bei a)  z =
> > [mm]x^2[/mm] ... ergibt das überhaupt Sinn?
> >
>
> Ja, und dann ist [mm]dz=dx^2.[/mm] nun musst du aber alles mit z
> ausdrücken, integrieren und zurücksubstituieren.
>  
> Es geht aber auch einfacher, wenn man das Leibnitz-Kalkül
> anwendet:

Leibnitz ist eine Stadt in Österreich ....... ! Gottfried Wilhelm Leibniz dreht sich im Grabe um !


>  
> [mm]dx^2[/mm] = [mm]\bruch{dx^2}{dx}*dx[/mm] = [mm](x^2)'dx[/mm] =2x*dx.
>  
> Jetzt musst du nur noch aufpassen, was du mit den
> Integrationsgrenzen machst. Wenn [mm]x^2[/mm] von 0 nach 1 läuft,
> läuft x ....
>  
>
> Analog: d sin(x) = [mm]\bruch{sin(x)}{dx}dx[/mm] = (sin(x))'dx =
> cos(x)dx.
>  
> Wenn der sinus von 0 bis [mm]\pi[/mm] läuft... tja, und nun hat
> sich der Aufgabensteller wohl vertan: Das kann der sinus
> gar nicht, der flattert nur zwischen -1 und 1 herum.


Mit Verlaub, aber da flattert jede Menge Unsinn durch die Gegend !

Mit den Integrationsgrenzen muss gar nichts gemacht werden ! Da werden Regeln in die Diskussion geworfen, die es gar nicht gibt. So stiftet man völlig unnötige Verwirrung beim Fragesteller !


$ [mm] \int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)$ [/mm] ist ein Riemann - Stiltjes - Integral.

Ist f auf [a,b] stetig und h dort stetig differenzierbar so gilt:


$ [mm] \int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,{\mathrm d}x [/mm] $.

Punkt !



> Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber dann
> sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> sinus. Man könnte aber schreiben:
>  
> [mm]\integral_{x=0}^{x=\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm].

Hä ? In dieser Aufgabe waren doch von Anfang an die Integrationsgrenzen 0 und [mm] \pi [/mm] , was soll das ???

>  


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