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| Aufgabe | Sei f: [a,b] [mm] \to \IC [/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Falls [mm] f(x_0) [/mm] = 0 für ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] gilt, dann folgt:
(i) [mm] \underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} \le \integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}
[/mm]
(ii) [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} \le (b-a)*\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}
[/mm]
b) Im allgemeinen Fall setze
[mm] \hat{f} [/mm] := [mm] \bruch{1}{b-a}*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.
[/mm]
Dann gilt:
(i) [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x) - \hat{f}| dx} \le (b-a)*\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}
[/mm]
(ii) [mm] \underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} \le |\hat{f}| [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich weiß zu allen 4 Sachen nicht wirklich, wo ich ansetzen soll, und wäre für Ansätze dankbar.
Grüsse
Alex
Edit:
Okay, also a) Teil (ii) habe ich gelöst, da dies eine Folgerung aus (i) ist.
Beweis zu a) ii)
[mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} \le (b-a)*\underset{x \in [a,b]}{sup |f(x)|} [/mm] = [mm] (b-a)*\underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} \le (b-a)*\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}
[/mm]
[mm] \Box[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: [a,b] [mm]\to \IC[/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie die
> folgenden Aussagen:
>
> a) Falls [mm]f(x_0)[/mm] = 0 für ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] gilt, dann
> folgt:
>
> (i) [mm]\underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} \le \integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
das ist schon ein wenig tricky:
Es gilt für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ unter Verwendung des HDIs (und einer bekannten Abschätzung
für Integrale)
[mm] $$|f(x)|=|f(x)-f(x_0)|=\left|\int_{x_0}^x f\,'(t)dt\right| \le \int_{x_0}^x |f\,'(t)|dt \le \int_{a}^b |f\,'(t)|dt$$
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deine Antwort.
Was meinst du mit HDI?
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke für deine Antwort.
> Was meinst du mit HDI?
den Haupsatz der Differential- und Integralrechnung; vielleicht kennst Du ihn unter ![[]](/images/popup.gif) diesen Namen (klick!)?
Gruß,
Marcel
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Danke. Ne, ich kenn den Namen schon, aber die Abkürzung dafür nicht.^^
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> Es gilt für alle [mm]x \in [a,b][/mm] unter Verwendung des HDIs
> (und einer bekannten Abschätzung
> für Integrale)
> [mm]|f(x)|=|f(x)-f(x_0)|=\left|\int_{x_0}^x f\,'(t)dt\right| \le \int_{x_0}^x |f\,'(t)|dt \le \int_{a}^b |f\,'(t)|dt[/mm]
Also die Ungleichungen habe ich alle verstanden.
Wenn ich nun noch schreibe, dass [mm] \underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} [/mm] = [mm] \underset{x \in [a,b]}{sup |f(x)|} [/mm] gilt, dann folgt ja aus deiner Ungleichung:
|f(x)| [mm] \le \underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} \le \integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}
[/mm]
Stimmt die Argumentation so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Es gilt für alle [mm]x \in [a,b][/mm] unter Verwendung des HDIs
> > (und einer bekannten Abschätzung
> > für Integrale)
> > [mm]|f(x)|=|f(x)-f(x_0)|=\left|\int_{x_0}^x f\,'(t)dt\right| \le \int_{x_0}^x |f\,'(t)|dt \le \int_{a}^b |f\,'(t)|dt[/mm]
>
> Also die Ungleichungen habe ich alle verstanden.
> Wenn ich nun noch schreibe, dass [mm]\underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|}[/mm]
> = [mm]\underset{x \in [a,b]}{sup |f(x)|}[/mm] gilt, dann folgt ja
> aus deiner Ungleichung:
>
> |f(x)| [mm]\le \underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} \le \integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
mir ist 'n bisschen unklar, ob Dir da alles klar ist. Das, was Du schreibst,
wäre aber jedenfalls nicht falsch - und vielleicht ist Dir jeder Gedankengang
auch klar, aber ich übertreib's mal und erkläre es so, wie es etwa ein Tutor
erklären sollte:
Die Logik ist eigentlich etwa folgende:
Sei [mm] $M\,$ [/mm] eine nach oben beschränkte Menge [mm] $\subseteq \IR\,.$ [/mm] Es gelte $m [mm] \le [/mm] S$ für alle $m [mm] \in M\,.$ [/mm]
($S [mm] \in \IR$ [/mm] sei also obere Schranke für [mm] $M\,.$) [/mm] Weil [mm] $M\,$ [/mm] nach oben beschränkt ist,
existiert [mm] $\sup M\,.$ [/mm] Nach Definition von [mm] $\sup [/mm] M$ folgt dann [mm] $\sup [/mm] M [mm] \le S\,.$ [/mm] Im Falle, dass
[mm] $M\,$ [/mm] sogar ein Maximum hat, d.h. es gibt ein [mm] $m_0 \in [/mm] M$ mit [mm] $\sup M=m_0\,,$ [/mm] folgt
natürlich auch [mm] $m_0=\sup M=\max [/mm] M [mm] \le S\,.$
[/mm]
Bei Dir:
[mm] $S=\int_{a}^b |f\,'(t)|dt$
[/mm]
[mm] $M=\{\;|f(x)|:\;\;x \in [a,b]\;\}$
[/mm]
Aus dem von mir gezeigten folgt [mm] $\sup [/mm] M [mm] \le S\,,$ [/mm] also [mm] $\sup_{x \in [a,b]} [/mm] |f(x)| [mm] \le \int_{a}^b |f\,'(t)|dt\,.$
[/mm]
Die Behauptung [mm] $\sup_{x \in [a,b]} |f(x)|=\max_{x \in [a,b]} [/mm] |f(x)|$ gilt, weil bekanntlich
stetige Funktionen auf kompakten Mengen ihr Supremum annehmen, woraus
folgt, dass das Supremum in [mm] $M\,$ [/mm] liegt. Beachte: Mit [mm] $f\,$ [/mm] ist auch [mm] $|f|\,$ [/mm] stetig!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
ja, so habe ich mir das aber auch gedacht. :)
Grüsse
Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Marcel,
>
> ja, so habe ich mir das aber auch gedacht. :)
dann passt's ja! 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: [a,b] [mm]\to \IC[/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie die
> folgenden Aussagen:
>
> a) Falls [mm]f(x_0)[/mm] = 0 für ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] gilt, dann
> folgt:
>
> (i) [mm]\underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} \le \integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
>
> (ii) [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} \le (b-a)*\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
>
> b) Im allgemeinen Fall setze
>
> [mm]\hat{f}[/mm] := [mm]\bruch{1}{b-a}*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> (i) [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x) - \hat{f}| dx} \le (b-a)*\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
ich glaube, dass man das mit (a) (ii) lösen kann.
Betrachte [mm] $g(x):=f(x)-\hat{f}\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $g\,'=f\,'\,.$ [/mm] Nun ist noch zu zeigen, dass
es ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $g(x_0)=0$ [/mm] gibt; anders gesagt, Du hast noch zu
zeigen:
Es gibt ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(x_0)=\hat{f}\,.$
[/mm]
Mit (a) (ii) (angewendet auf [mm] $g\,$ [/mm] - beachte, dass natürlich auch [mm] $g\,$ [/mm] hier
stetig diff'bar ist) folgt dann die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
erstmal danke schön für deine Antwort.
Ich versuche gerade zu beweisen, dass es solch ein [mm] x_0 [/mm] gibt.
Mir ist da der Zwischenwertsatz eingefallen, aber ich weiß nicht, ob mich der hier wirklich weiterbringt.
Ansonsten habe ich noch herausgefunden, dass [mm] \integral_{a}^{b}{|g(x)| dx} [/mm] = 0 ist, aber das für die Aufgabe hilfreich ist, weiß ich nicht.
Grüsse
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> erstmal danke schön für deine Antwort.
> Ich versuche gerade zu beweisen, dass es solch ein [mm]x_0[/mm]
> gibt.
> Mir ist da der Zwischenwertsatz eingefallen, aber ich
> weiß nicht, ob mich der hier wirklich weiterbringt.
> Ansonsten habe ich noch herausgefunden, dass
> [mm]\integral_{a}^{b}{|g(x)| dx}[/mm] = 0 ist, aber das für die
> Aufgabe hilfreich ist, weiß ich nicht.
schau' mal im Heuser, entweder Satz 85.3 (erster Mittelwertsatz der
Integralrechnung) oder in dem "Vorgeplänkel" davon, Seite 476.
Ich habe die 14. Auflage.
Du kannst da quasi mit "Zwischensumme(n)" argumentieren!
Gruß,
Marcel
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Das Buch habe ich leider nicht. Mittelwertsatz vom Integral hatten wir auch noch nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das Buch habe ich leider nicht. Mittelwertsatz vom Integral
> hatten wir auch noch nicht.
dann mach' es so:
Sei [mm] $F(x):=\int_a^x [/mm] f(t)dt$ für $x [mm] \in [a,b]\,.$ $F\,$ [/mm] ist wohldefiniert, weil [mm] $f\,$
[/mm]
stetig ist, und nach dem HDI gilt [mm] $F\,'=f\,.$
[/mm]
Nach dem MWS existiert ein [mm] $\xi \in [/mm] (a,b)$ mit
[mm] $$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F\,'(\xi)\,.$$
[/mm]
Also?
Gruß,
Marcel
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Beweis:
Setze g(x) := f(x) - [mm] \hat{f} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [a,b].
[mm] \Rightarrow [/mm] g' = f'
Desweiteren ist g stetig, und somit g Riemann-integrierbar.
Wegen dem HDI wissen wir, dass G(x) := [mm] \integral_{a}^{x}{g(t) dt} [/mm] eine Stammfunktion von g ist, also gilt G' = g.
Mit dem Mittelwertsatz folgt dann:
[mm] \exists [/mm] c [mm] \in [/mm] [a,b]: [mm] \bruch{G(b) - G(a)}{b - a} [/mm] = g(c)
Es gilt aber: G(a) = G(b) = 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] \bruch{G(b) - G(a)}{b - a} [/mm] = g(c) für ein c [mm] \in [/mm] [a,b]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(c) = [mm] \hat{f}
[/mm]
Dann folgt mit Teil a) ii) angewandt auf g: [mm] \integral_{a}^{b}{|g(x)| dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x) - \hat{f}| dx} \le [/mm] (b - [mm] a)*\integral_{a}^{b}{|g'(x)| dx} [/mm] = (b - [mm] a)*\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweis:
>
> Setze g(x) := f(x) - [mm]\hat{f}[/mm] für x [mm]\in[/mm] [a,b].
okay, d.h., Du beweist es ein wenig anders, wie ich es vorgeschlagen hatte.
> [mm]\Rightarrow[/mm] g' = f'
>
> Desweiteren ist g stetig, und somit g
> Riemann-integrierbar.
> Wegen dem HDI wissen wir, dass G(x) := [mm]\integral_{a}^{x}{g(t) dt}[/mm] eine Stammfunktion von g ist,
Ich finde das übrigens mal sehr schön, dass Du hier, richtig, von EINER, und
nicht von "der", Stammfunktion redest.
> also gilt G' = g.
>
> Mit dem Mittelwertsatz folgt dann:
>
> [mm]\exists[/mm] c [mm]\in[/mm] [a,b]: [mm]\bruch{G(b) - G(a)}{b - a}[/mm] = g(c)
>
> Es gilt aber: G(a) = G(b) = 0.
[mm] $G(a)=0\,$ [/mm] ist klar. [mm] $G(b)=\int_a^b f(t)\;dt-\int_a^b \hat{f}=\int_a^b f(t)\;dt- (b-a)\;\hat{f}=0\,.$ [/mm]
Okay, passt!
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = [mm]\bruch{G(b) - G(a)}{b - a}[/mm] = g(c) für ein
> c [mm]\in[/mm] [a,b]
Nur ein kleiner Hinweis:
> [mm]\red{\;(}\Rightarrow f(c) = \hat{f}\;\red{\;)\;}}[/mm]
die nun von mir in rot eingeklammerte Folgerung brauchst Du ja gar nicht mehr.
Du hast nun gezeigt, dass [mm] $g\,$ [/mm] die Voraussetzungen zur Anwendung von
(a) (ii) erfüllt.
Bei mir war's halt so: Ich hätte gezeigt, dass es ein [mm] $\xi \in [/mm] (a,b)$ mit [mm] $f(\xi)=\hat{f}$ [/mm] gibt.
(Das [mm] $\xi$ [/mm] ist Dein [mm] $c\,$ [/mm] oben!) Und dann folgt nach Definition von [mm] $g\,$ [/mm] eben,
dass [mm] $g(\xi)=0$ [/mm] gilt.
> Dann folgt mit Teil a) ii) angewandt auf g:
> [mm]\integral_{a}^{b}{|g(x)| dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x) - \hat{f}| dx} \le[/mm]
> (b - [mm]a)*\integral_{a}^{b}{|g'(x)| dx}[/mm] = (b -
> [mm]a)*\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Marcel
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Alles klar, ich danke dir Marcel für deine Hilfe. :)
Grüsse
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi nochmal,
> Sei f: [a,b] [mm]\to \IC[/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie die
> folgenden Aussagen:
>
> a) Falls [mm]f(x_0)[/mm] = 0 für ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] gilt, dann
> folgt:
>
> (i) [mm]\underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} \le \integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
>
> (ii) [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} \le (b-a)*\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
>
> b) Im allgemeinen Fall setze
>
> [mm]\hat{f}[/mm] := [mm]\bruch{1}{b-a}*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> (i) [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x) - \hat{f}| dx} \le (b-a)*\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
>
> (ii) [mm]\underset{x \in [a,b]}{max |f(x)|} \le |\hat{f}|[/mm] + [mm]\integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}[/mm]
zum letzten Teil:
Nehmen wir an, Du hast Teil (b) (i) wie vorgeschlagen gelöst. Sei also [mm] $x_0$
[/mm]
mit [mm] $f(x_0)=\hat{f}\,.$ [/mm] Betrachten wir wieder [mm] $g\,$ [/mm] mit [mm] $g:=f-\hat{f}\,.$
[/mm]
Wie in (i) gilt nun unter Verwendung des HDIs für jedes $x [mm] \in [/mm] [a,b]$
[mm] $$|g(x)|=|f(x)-\hat{f}| \le \int_{a}^b |g\,'(t)|dt=\int_a^b |f\,'(t)|dt\,.$$
[/mm]
Ferner gilt auch
[mm] $$|g(x)|=|f(x)-\hat{f}| \ge |f(x)|-|\hat{f}|\,.$$
[/mm]
(Beweis?)
Also folgt für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$
$$|f(x)| [mm] \le |\hat{f}|+\int_a^b |f\,'(t)|dt$$
[/mm]
Fertig!
Gruß,
Marcel
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> zum letzten Teil:
> Nehmen wir an, Du hast Teil (b) (i) wie vorgeschlagen
> gelöst. Sei also [mm]x_0[/mm]
> mit [mm]f(x_0)=\hat{f}\,.[/mm] Betrachten wir wieder [mm]g\,[/mm] mit
> [mm]g:=f-\hat{f}\,.[/mm]
> Wie in (i) gilt nun unter Verwendung des HDIs für jedes [mm]x \in [a,b][/mm]
>
> [mm]|g(x)|=|f(x)-\hat{f}| \le \int_{a}^b |g\,'(t)|dt=\int_a^b |f\,'(t)|dt\,.[/mm]
>
> Ferner gilt auch
> [mm]|g(x)|=|f(x)-\hat{f}| \ge |f(x)|-|\hat{f}|\,.[/mm]
> (Beweis?)
Allgemein gilt für beliebige x, y [mm] \in \IC:
[/mm]
||x| - |y|| [mm] \le [/mm] |x - y|
[mm] \gdw [/mm] -|x - y| [mm] \le [/mm] |x| - |y| [mm] \le [/mm] |x - y|
Daraus folgt dann deine Ungleichung.
> Also folgt für alle [mm]x \in [a,b][/mm]
> [mm]|f(x)| \le |\hat{f}|+\int_a^b |f\,'(t)|dt[/mm]
>
> Fertig!
>
> Gruß,
> Marcel
Ok, das habe ich alles nachvollziehen können, aber da wäre ich wahrscheinlich nicht alleine drauf gekommen.
Vielen Dank Marcel!
Grüsse
Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > zum letzten Teil:
> > Nehmen wir an, Du hast Teil (b) (i) wie vorgeschlagen
> > gelöst. Sei also [mm]x_0[/mm]
> > mit [mm]f(x_0)=\hat{f}\,.[/mm] Betrachten wir wieder [mm]g\,[/mm] mit
> > [mm]g:=f-\hat{f}\,.[/mm]
> > Wie in (i) gilt nun unter Verwendung des HDIs für
> jedes [mm]x \in [a,b][/mm]
> >
> > [mm]|g(x)|=|f(x)-\hat{f}| \le \int_{a}^b |g\,'(t)|dt=\int_a^b |f\,'(t)|dt\,.[/mm]
>
> >
> > Ferner gilt auch
> > [mm]|g(x)|=|f(x)-\hat{f}| \ge |f(x)|-|\hat{f}|\,.[/mm]
> >
> (Beweis?)
>
> Allgemein gilt für beliebige x, y [mm]\in \IC:[/mm]
>
> ||x| - |y|| [mm]\le[/mm] |x - y|
>
> [mm]\gdw[/mm] -|x - y| [mm]\le[/mm] |x| - |y| [mm]\le[/mm] |x - y|
>
> Daraus folgt dann deine Ungleichung.
Joa, das passt. Aber das, was Du schreibst, was allgemein gilt, folgt eben
aus der Dreiecksungleichung:
Wegen $|y|=|y-x+x| [mm] \le [/mm] |y-x|+|x|$ folgt
[mm] $$-\;|y-x|=-\;|x-y| \le |x|-|y|\,.$$
[/mm]
Vertauschst Du dabei die Rollen $x [mm] \leftrightarrow y\,,$ so folgt auch
$$-|x-y| \le |y|-|x|\,.$$
> > Also folgt für alle [/mm] [mm]x \in [a,b][/mm]
> > [mm]|f(x)| \le |\hat{f}|+\int_a^b |f\,'(t)|dt[/mm]
>
> >
> > Fertig!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ok, das habe ich alles nachvollziehen können, aber da
> wäre ich wahrscheinlich nicht alleine drauf gekommen.
Naja, hinterher kann man es umformen und dann sagen, wie man es
hätte sehen können. Aber woher weiß man direkt, wie man dann umformen
muss. Von daher: Einfach mal ein wenig mehr "rumspielen" mit dem, was
man weiß im Hinblick darauf, wo man hinwill!
> Vielen Dank Marcel!
Gerne!
Gruß,
Marcel
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