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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Integralformel für Ableitungen
Integralformel für Ableitungen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integralformel für Ableitungen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:10 Do 24.05.2012
Autor: chesn

Aufgabe
Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Integralformel von Cauchy für Ableitungen. Die Kurven seien dabei positiv orientiert.

a) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}} [/mm]

b) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}} [/mm]

c) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}} [/mm]

Hallo! Wäre nett wenn jemand dazu sagen könnte ob es soweit richtig ist, oder wo meine Fehler liegen. Hier die Integralformel für Ableitungen: []Wikipedia


a) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{(z-0)^{3+1}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (exp(0)-exp(0))''}{3!}=0 [/mm]

b) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (sin^2(0))''}{2!}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (2*(cos^2(0)-sin^2(0))}{2}=cos^2(0)=1 [/mm]

c) [mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * sin^{(65)}(0)}{65!}=\bruch{cos(0)}{65!}=\bruch{1}{65!} [/mm]

Passt das so?

Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn

        
Bezug
Integralformel für Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Do 24.05.2012
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der
> Integralformel von Cauchy für Ableitungen. Die Kurven
> seien dabei positiv orientiert.
>  
> a) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}[/mm]
>  
> b) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}[/mm]
>  
> c) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}[/mm]
>  
> Hallo! Wäre nett wenn jemand dazu sagen könnte ob es
> soweit richtig ist, oder wo meine Fehler liegen. Hier die
> Integralformel für Ableitungen:
> []Wikipedia
>  
>
> a) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{(z-0)^{3+1}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (exp(0)-exp(0))''}{3!}=0[/mm]
>  
> b) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (sin^2(0))''}{2!}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (2*(cos^2(0)-sin^2(0))}{2}=cos^2(0)=1[/mm]
>  
> c) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * sin^{(65)}(0)}{65!}=\bruch{cos(0)}{65!}=\bruch{1}{65!}[/mm]
>  
> Passt das so?

Ja

FRED

>  
> Vielen Dank und liebe Grüße,
>  chesn


Bezug
        
Bezug
Integralformel für Ableitungen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:25 Do 24.05.2012
Autor: teo

Hallo

> Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der
> Integralformel von Cauchy für Ableitungen. Die Kurven
> seien dabei positiv orientiert.
>  
> a) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}[/mm]
>  
> b) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}[/mm]
>  
> c) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}[/mm]
>  
> Hallo! Wäre nett wenn jemand dazu sagen könnte ob es
> soweit richtig ist, oder wo meine Fehler liegen. Hier die
> Integralformel für Ableitungen:
> []Wikipedia
>  
>
> a) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{(z-0)^{3+1}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (exp(0)-exp(0))''}{3!}=0[/mm]

Ich verstehe hier nicht warum du [mm] 2\pi i [/mm] nochmal in den Zähler schreibst. Du benutzt doch: [mm] \frac{f^{(n)}(c)}{n!} = \frac{1}{2 \pi i} \integral_{B_1(0)}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}[/mm].
Und wenn du [mm] e^z-e^{-z} [/mm] dreimal ableitest erhälst du [mm] (e^z-e^{-z})'''=(e^z+e^{-z})''=(e^z-e^{-z})'=e^z+e^{-z} [/mm] 0 Einsetzen liefert 2. Ich bring also [mm] \frac{1}{3 \pi i} [/mm] raus. Hab ich einen Denkfehler? Bei den anderen Aufgaben genauso.

> b) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_2(1)}{\bruch{sin^2(z)}{z^3}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (sin^2(0))''}{2!}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * (2*(cos^2(0)-sin^2(0))}{2}=cos^2(0)=1[/mm]
>  
> c) [mm]\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{sin(z)}{z^{66}}}=\bruch{1}{2\pi i}*\bruch{2\pi i * sin^{(65)}(0)}{65!}=\bruch{cos(0)}{65!}=\bruch{1}{65!}[/mm]
>  
> Passt das so?
>  
> Vielen Dank und liebe Grüße,
>  chesn


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Integralformel für Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Do 24.05.2012
Autor: chesn

Kann natürlich auch sein, dass ich es falsch verstanden habe.. sieht sinnvoller aus was du da machst, vielen Dank! :)

Gruß
chesn

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Integralformel für Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Fr 25.05.2012
Autor: chesn

Hallo!

Wenn du es aber so machst, dann ist doch

$ [mm] \bruch{1}{2\pi i}\cdot{}\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{ exp(0)+exp(0)}{3!}=\bruch{1}{3} [/mm] $

Denn in

$ [mm] \frac{f^{(n)}(c)}{n!} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi i} \integral_{B_1(0)}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}} [/mm] $

steht doch auf der linken Seite kein [mm] \bruch{1}{2\pi i} [/mm] mehr oder sehe ich das falsch?

Gruß,
chesn

Bezug
                        
Bezug
Integralformel für Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:44 Fr 25.05.2012
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Wenn du es aber so machst, dann ist doch
>
> [mm]\bruch{1}{2\pi i}\cdot{}\integral_{\partial B_1(0)}{\bruch{e^z-e^{-z}}{z^4}}=\bruch{ exp(0)+exp(0)}{3!}=\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> Denn in
>  
> [mm]\frac{f^{(n)}(c)}{n!} = \frac{1}{2 \pi i} \integral_{B_1(0)}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}[/mm]
>  
> steht doch auf der linken Seite kein [mm]\bruch{1}{2\pi i}[/mm] mehr
> oder sehe ich das falsch?

Nein, Du siehst das richtig

Ich hab oben nicht genau hingesehen

FRED

>  
> Gruß,
>  chesn


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Integralformel für Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 Fr 25.05.2012
Autor: teo

Meinte ich auch! Entschuldigung..

Bezug
                
Bezug
Integralformel für Ableitungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 08.06.2012
Autor: matux

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