Integralfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:11 Mi 21.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Gegeben sei die auf [mm] \IR [/mm] def. Schar von Funktionen:
[mm] f_{k} [/mm] : t [mm] \to f_{k}(t) [/mm] = [mm] \begin{cases} t^{-k}*e^{-\bruch{1}{|t|}}, & \mbox{für } t \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } t = 0 \end{cases} [/mm] mit t [mm] \in \IN.
[/mm]
Jede der Fkt. ist in x=0 stetig (kein Nachweis verlangt)
Nun werde die Integralfunktion F: x [mm] \to [/mm] F(x)= [mm] \integral_{0}^{x}{f_{2}(t) dt} [/mm] betrachtet.
Geben Sie für x>0 mit Hilfe der Substitutionsregel eine integralfreie Darstellung von F(x) an. Begründen Sie die Zulässigkeit des Verfahrens.
Ist F mit [mm] F_{0} [/mm] identisch? |
Hallo,
Also das mit der Darstellung hab ich hinbekommen inden ich u= [mm] -\bruch{1}{t} [/mm] gesetzt hab und kam somit auf F(x) = 1- [mm] e^{-\bruch{1}{x}}.
[/mm]
Nun versteh ich aber leider nicht, wie man das Ganze begründet und warum es zulässig ist...?
Des weiteren frag ich mich was mit [mm] F_{0} [/mm] gemeint ist...? Etwa die Darstellung F(x) inklusive dem Fall x=0?
Dafür wäre die Darstellung die ich hier heraus bekommen habe gar nicht definiert, da ich nicht durch 0 teilen darf... es müsste dann [mm] F_{0}(0)=0 [/mm] sein
Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hallo,
mit [mm] F_{0} [/mm] ist denke ich der Fall mit k=0 gemeint. Also ob die Integration auch für k=0 funktioniert, dann hast du ja "nur" [mm] e^{\bruch{1}{|t|}} [/mm] zu integrieren.
Damit erklärt sich auch die Frage nach der Zulässigkeit des Verfahrens, denn du wirst deine probleme haben eine Stammfunktion von [mm] e^{\bruch{1}{t}} [/mm] zu finden. Die Integration ist so ohne weiteres auch nicht möglich, mit ohne weiteres meine ich z.B. numerische evaluationsverfahren.
Lg
|
|
|
| |
|
Hallo> Hallo,
>
> mit [mm]F_{0}[/mm] ist denke ich der Fall mit k=0 gemeint. Also ob
> die Integration auch für k=0 funktioniert, dann hast du ja
> "nur" [mm]e^{\bruch{1}{|t|}}[/mm] zu integrieren.
>
Was lässt dich denn daran glauben, die ursprüngliche Integralfkt. heißt ja nun auch nicht [mm] F_{2} [/mm] sondern nur F, obwohl das Integral [mm] \integral_{0}^{x}{f_{2}(t) dx} [/mm] betrachtet wird.
Da fänd ich meinen ursprünglichen Ansatz doch logischer, dass mit [mm] F_{0} [/mm] die integralfreie Darstellung von F für x [mm] \ge [/mm] 0 gemeint ist, statt x > 0.
Und zumal die direkt darauf folgende Frage in der Aufgabe lautet, wie denn der Funktionsterm F(x) für x < 0 lautet...
> Damit erklärt sich auch die Frage nach der Zulässigkeit
> des Verfahrens, denn du wirst deine probleme haben eine
> Stammfunktion von [mm]e^{\bruch{1}{t}}[/mm] zu finden. Die
> Integration ist so ohne weiteres auch nicht möglich, mit
> ohne weiteres meine ich z.B. numerische
> evaluationsverfahren.
>
Das kann doch nicht die Begründung für die Zulässigkeit des Verfahrens sein, dass man sagt: weil ich mit andern Methoden Probleme hätte eine Stammfunktion zufinden.
Die Frage hört sich für mich eher danach an: Warum funktioniert generell die Substitutionsregel, und wieso darf ich sie in diesem Fall anwenden...?, worauf ich selbst leider keine Antwort finde.
Wäre jeder Hilfe dankbar.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo> Hallo,
> >
> > mit [mm]F_{0}[/mm] ist denke ich der Fall mit k=0 gemeint. Also ob
> > die Integration auch für k=0 funktioniert, dann hast du ja
> > "nur" [mm]e^{\bruch{1}{|t|}}[/mm] zu integrieren.
> >
> Was lässt dich denn daran glauben, die ursprüngliche
> Integralfkt. heißt ja nun auch nicht [mm]F_{2}[/mm] sondern nur F,
> obwohl das Integral [mm]\integral_{0}^{x}{f_{2}(t) dx}[/mm]
> betrachtet wird.
Weil Scharparameter meist als Index an die Funktion geschrieben werden.
Das wird aber auch schwer darauf eine eindeutig bestimmte Antwort zu finden, da es sich hier einfach um eine ungenaue Notation handelt. Bzw. da du offenbar nicht die ganze Aufgabe gepostet hast, ist es schwierig da auch etwas aus dem Kontext zu erschließen. Du magst mit deiner Vermutung selbstverständlich recht haben.
> Da fänd ich meinen ursprünglichen Ansatz doch logischer,
> dass mit [mm]F_{0}[/mm] die integralfreie Darstellung von F für x
> [mm]\ge[/mm] 0 gemeint ist, statt x > 0.
> Und zumal die direkt darauf folgende Frage in der Aufgabe
> lautet, wie denn der Funktionsterm F(x) für x < 0
> lautet...
> > Damit erklärt sich auch die Frage nach der
> Zulässigkeit
> > des Verfahrens, denn du wirst deine probleme haben eine
> > Stammfunktion von [mm]e^{\bruch{1}{t}}[/mm] zu finden. Die
> > Integration ist so ohne weiteres auch nicht möglich, mit
> > ohne weiteres meine ich z.B. numerische
> > evaluationsverfahren.
> >
> Das kann doch nicht die Begründung für die Zulässigkeit
> des Verfahrens sein, dass man sagt: weil ich mit andern
> Methoden Probleme hätte eine Stammfunktion zufinden.
> Die Frage hört sich für mich eher danach an: Warum
> funktioniert generell die Substitutionsregel, und wieso
> darf ich sie in diesem Fall anwenden...?, worauf ich selbst
> leider keine Antwort finde.
> Wäre jeder Hilfe dankbar.
Das glaube ich nicht. Das Integral KANNST du nicht bestimmen. Schonmal versucht die gauss-funktion der normalverteilung zu integrieren ? Es gibt einen Grund für Tabellen mit Werten der Normalverteilung, sie sind alle numerisch bekannt, du kannst jedoch analytisch keine Stammfunktion finden.
Warum das Substitutionsverfahren funktioniert ? Die leitest die Funktion mit der Kettenregel ab, die Substitution ist der Versuch einen Integranden auf die Form zu bringen, dass du die Kettenregel ohne weiteres umkehren kannst.
Versuche mal zu substituieren für den fall k=0 und leite deine gefundene Stammfunktion ab, du wirst sehen, dass es nicht funktioniert, denn normalerweise integrierst du indem du die e-Funktion mit dem Kehrwert der Ableitung des Exponenten multiplizierst. Das geht hier nicht, denn leitest du [mm] \bruch{1}{t} [/mm] ab, so erhältst du [mm] \bruch{-1}{t^2} [/mm] . die Stammfunktion wäre also [mm] t^2*e^{\bruch{1}{t}}, [/mm] wenn du das ableitest, wendest du die Produktregel an und kriegst ein anderes ergebnis.
Ich setze die Frage mal auf teilweise beantwortet, vielleicht kann dir ein anderes Statement dazu mehr geben. Obgleich ich mir recht sicher bin, dass meine Ausführung stimmt. Aber "es irrt der Mensch solang' er strebt."
> Viele Grüße
In diesem Sinne,
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Sa 24.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
Danke soweit.
> Weil Scharparameter meist als Index an die Funktion
> geschrieben werden.
> Das wird aber auch schwer darauf eine eindeutig bestimmte
> Antwort zu finden, da es sich hier einfach um eine ungenaue
> Notation handelt. Bzw. da du offenbar nicht die ganze
> Aufgabe gepostet hast, ist es schwierig da auch etwas aus
> dem Kontext zu erschließen. Du magst mit deiner Vermutung
> selbstverständlich recht haben.
Also die Aufgabe entstammt einer (älteren Abituraufgabe) ![[]](/images/popup.gif) Abi 1978 unter (2/2) Aufgabe 2 zu finden, aber ich glaub selbst aus dem Kontext lässt sich wenig schließen auf Weiteres schließen...?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Sa 24.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
also die aufgabe bestätigt eigentlich meinen verdacht, dass es sich beim index um den parameter handelt, denn es ist ja [mm] f_K [/mm] gegeben...
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 24.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
