Integralgleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Ich stehe gerade vor der Aufgabe eine Integralgleichung zu lösen und finde einfach keinen Ansatz wie ich sowas machen könnte.
Es geht um folgendes:
[mm] \int_{\alpha}^{\beta} [/mm] f(t) * x(t) dt = c
wobei f(t) eine bekannte Funktion ist und c eine Konstante.
Gesucht ist die Funktion x(t), die diese Gleichung löst.
Nun kann ich ja nicht einfach die Gleichung differenzieren, da ja dann meine rechte Seite 0 wird und ich mir dann eher schwer tue eine Lösung zu finden.
Hat irgendwer eine Idee wie man sowas löst??
Vielen Dank, mfg.
|
|
| |
|
Ich kenne mich mit Integralgleichungen nicht aus. Mir kommt nur gerade der folgende Gedanke. Nehmen wir eine, sagen wir, stetige Funktion [mm]y(t)[/mm] und berechnen wir:
[mm]\int_{\alpha}^{\beta}~f(t) \, y(t)~\mathrm{d}t = b[/mm]
Wenn nun [mm]b \neq 0[/mm] ist, so definieren wir [mm]x(t) = \frac{c}{b} \, y(t)[/mm], und es gilt:
[mm]\int_{\alpha}^{\beta}~f(t) \, x(t)~\mathrm{d}t = c[/mm]
Beispiel:
[mm]\int_0^{\pi}~x(t) \, \sin{t}~\mathrm{d}t = 5[/mm] ist zu lösen
Wir nehmen [mm]y(t) = t^2[/mm] und rechnen [mm]\int_0^{\pi}~t^2 \sin{t}~\mathrm{d}t = \pi^2 - 4[/mm]. Also ist
[mm]x(t) = \frac{5}{\pi^2 - 4} t^2[/mm]
eine Lösung der Gleichung. Und so kann man sich bei beliebiger Vorgabe von [mm]y(t)[/mm] Lösungen konstruieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Skydiver |
Besten Dank für die Antwort!
Mit dieser Methode erhalte ich auf jeden Fall eine Lösung.
Im allgemeinen wird ja so eine Gleichung sowieso unendlich viele Lösungen haben, wenn ich mich nicht täusche.
Was ich mich noch frage ist, ob es irgeindeine Möglichkeit gibt, eine allgemeine Lösung für die Gleichung zu finden, so wie bei Differentialgleichungen oder linearen Gleichungssystemen, die ja auch unendlich viele Lösungen haben können.
mfg.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Fr 02.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] feste Grenzen sind, ist x(t)=a/f(x) mit [mm] a=c/(\alpha\beta) [/mm] eine Primitivlösung, falls [mm] f(x)\ne0 [/mm] im Intervall, sonst bei 0 Stellen Integral aufteilen.
2. Lösung: falls [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] errechenbar=K, x=const, so dassK*const=c
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Vielen Dank!
hast du bei deiner ersten Lösung für x(t) = [mm] c/(f(t)*(\beta-\alpha)) [/mm] gemeint, also bei deinem a statt [mm] c/(\alpha\beta): c/(\beta-\alpha) [/mm] ?
mein Problem ist damit leider noch immer nicht ganz gelöst. Das Problem das ich hier gepostet habe stammt nämlich von einer Fredholmschen Integralgleichung 1. Art die folgendermaßen aussieht:
p(s) = [mm] \int_{a}^{b}K(s,t) [/mm] x(t) dt
K(s,t) = [mm] f_0(t)+sf_1(t)+...+s^{n}f_n(t)
[/mm]
damit wird p(s) zu: p(s) = [mm] \sum_{k=0}^{n} s_k \int_{a}^{b}f_k(t)x(t) [/mm] dt;
für p(s) ergibt sich also ein Polynom n-ten Grades;
nun hab ich mir gedacht ich führe einfach einen Koeffizientenvergleich durch und erhalte damit meine Integralgleichungen von der ursprünglichen Angabe.
das Problem ist aber, dass die Funktion x(t) nicht nur eine dieser Gleichungen, sondern alle n erfüllen muss.
Weiß jemand vielleicht ob es einen allgemeinen Lösungsansatz für solche Fredholm Integrale gibt??
Besten Dank nochmals für die Antworten!!
mfg.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mo 05.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
